高中物理教学论文:斜抛运动的极值问题例析.doc
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1、斜抛运动的极值问题例析 斜抛运动由于其速度的不确定性,使其在运动过程中派生出许多的极值问题,比如射程和运动的对称性是斜抛运动常见的问题。而物体在不同平面的斜抛其特点不同,对应的极值也各不同,现就物体在几种平面上斜抛运动时的极值问题进行分类说明。(一)在水平面上的斜抛运动的极值问题例题1:在水平地面上以速度v抛出一小球,v的方向与水平面的夹角为,试确定为多大时,小球的射程最远?AvxyB图一解:建立如图一所示的坐标系,把小球的运动看作是竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动的合运动。则两速度的分量为:vxvsinvyvcos小球在空中运动的时间为:t2vy/g2vcos/g则小球的射程X
2、vxtvsin2vcos/gv2sin2/g由上式可知:当45o时,射程具有最大值。最大射程为:Xv2/g即要使物体以一定的速度在平面上有最大的射程的条件是:物体的抛射角为45o。(二)斜抛到上斜面的斜抛运动的极值问题v图二例题2:如图二所示,倾角为的斜面光滑,自斜面上某处以速度v沿与斜面夹角为的方向向斜面上抛出一质点,设质点与斜面间的碰撞没有动能损失,斜面有足够长,要求质点最后仍能回到原出发点,应满足什么条件?解析:整个运动过程中,质点的机械能守恒,显然,若质点能回到原出发点,则它沿斜面向上的运动和向下的运动应该是互相对称的,亦即质点沿斜面方向运动到其能达到的最高点后,它应沿“原路”返回。这
3、样,有两种情况都能满足这一要求。一是质点最后一次与斜面相碰时,其速度方向刚好与斜面垂直,则其反弹起来的速度必与其碰前的速度大小相等而方向相反,这样,质点此后的运动将把其上升过程的运动“反演”一次,可回到原出发点。二是质点最后一次与斜面相碰后,其反弹起来的速度恰沿竖直向上的方向,则质点弹起后作竖直上抛运动,当质点达到竖直上抛的顶点后,接着便会将此前的运动“反演”,也会回到原出发点。由于运动的对称性,为求解的方便,我们可按上述两种情况求出质点沿斜面下降中各次与斜面相碰的速度,而将此速度逆转,即为满足题目要求的抛出速度。解:(1)建立如图三所示的坐标系,设质点沿垂直于斜面的方向(图中y方向)以某一初
4、速度v0抛出,在质点再次与斜面相碰前,质点在空中运动时其加速度的两分量分别为:xy图三axgsinaygcos在某一时刻t时,质点的速度两分量为:vyv0gcostvxgsint时刻t时,质点的位置坐标为:xgsint2/2yv0tgcost2/2由上式中令y0得质点由出发至第一次与斜面相碰所历时间为:T2v0/gcos此时质点的两速度分量为:vyv0vxgsinT质点由斜面反弹起来时,其垂直于斜面方向的速度大小是v0,可见此后质点每两次与斜面相碰的时间间隔为T,则质点第n次与斜面相碰时的速度分量分别为:vyv0vxgsinnT令此时速度方向与斜面间的夹角为,则有:tgvy/vxv0/(ngs
5、in2v0/gcos)ctg/2n . (n=1、2) (2)设质点由空中自由下落到斜面上,与斜面相碰时速度为v0,仍在图中所示的坐标系中,同上分析可得,质点连续两次与斜面相碰的时间间隔为:T2v0cos/gcos2v0/g此后,质点第n次与斜面相碰时其速度分量为:vxv0singsin(n1)Tvyv0cos由上三式解得质点第n次与斜面相碰时,速度方向与斜面间的夹角应满足:tgvy/vxv0ctg/【v02v0(n1)】ctg/(2n-1). (n=1、2) (3)由上分析可知,若将运动情况逆转,则依式或式确定的角方向抛出质点,则质点将可沿原路返回,综合(1)(2)两种情况,可知在斜面上抛出
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