高中数学教学论文:从一道习题的错解谈某类数学概念的教学.doc
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1、从一道习题的错解谈某类数学概念的教学摘要:在中学数学中,许多重要概念将逐步发展与深化。本文从一道习题出发,以曲线的切线概念为例,探讨这一类数学概念教学中的注意点。关键词:切线 数学概念 概念发展 概念教学1 问题发现本人在高三复习课中碰到这样一道习题:例(04 重庆):已知曲线,则过点的切线方程是 .学生错解:求导得:,所以在点的切线斜率为,故所求的切线方程为:,即2 问题讨论错解分析:从学生的解答过程中看出学生错误的认为点即为直线与曲线的切点,而由题意切线只是过P点,学生忽略了另一种情况:直线过点P而与曲线相切与另一点。错因探究:从表面看学生的错误只是把“过点P”理解为“相切于点P”,但经过
2、与做错学生们的交流,发现其错误有更深层次的原因。在学生的意识中,对切线的概念有这样一个错误的认识:过曲线上的一点,只能做曲线的一条切线。该认识的进一步表现即为曲线的切线与曲线只有唯一的一个交点。追本溯源:明确了学生的错误所在后,本人进一步从学生学习切线这一概念的过程中去思考产生错误的原因。学生最早接触切线这一概念是在初中学习圆的切线:当直线与圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切。其中的直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点。从该定义可以看出学生对切线最初的印象是:与曲线只有唯一的交点。这也是学生记忆最深的印象。然后高一、高二的时候学生进一步学习了直线和二次曲线相切的情况,从形的角度得出了这样一个
3、结论:直线与二次曲线相切时,直线与曲线只有一个交点;但直线与曲线只有一个交点时,直线和曲线不一定相切。如双曲线时,直线与渐近线平行,以及抛物线时,直线与对称轴平行,这两种情况直线与曲线都只有一个交点,但直线与曲线是相交,而不是相切。从数的角度,把直线的方程和二次曲线的方程联立起来,在二次项系数不为零时,若二次方程的判别式等于零,则直线和曲线是相切的。高一高二的学习虽然使学生从“若直线与曲线只有唯一的交点则直线与曲线相切”这一认识误区走出来,但也加深了学生对“若直线与曲线相切则直线与曲线只有唯一的交点”这一错误的认识。接着,在高三导数这章导数的概念这节的学习中,学生们接触到了切线的严格定义:设P
4、是曲线上的定点,Q是曲线上的动点,当点Q沿着曲线无限接近于点P时,如果割线PQ有一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在P点处的切线。在这里切线被定义为过曲线上定点的割线的极限位置。但在这节教学中,教学重点放在了导数的几何意义(即函数在某点处的导数值是曲线在该点处的切线的斜率)上了,没有重点突出切线的概念,也没有将这一概念和学生以前的认知进行很好的分析比较,以至于学生还有错误的认识:曲线的切线与曲线就只有一个交点。而这一错误认识在解题中就表现为过点只能做已知曲线的一条切线.综上所诉,曲线切线概念的发展过程对学生形成概念产生了负迁移,从而造成学生概念不清,引起解题错误。3 问题解决明确了学生错误
5、的源由,本人详细讲解了切线这一概念的由来与发展,并举例对比分析了各个阶段切线概念的不同点及切线概念发展的必要性,最后借助于几何画板作出过点与曲线相切的两条直线和,给学生以具体直观的印象。图1.割线PQ 图2.切于点 图3.切于点正解:设过点的直线与曲线相切于点.因为,所以所求的切线斜率为,故切线方程为:.与曲线方程联立得:.因为点为直线与曲线的切点,故,即.解得:.当时,切点为,切线方程为:,即;当时,切点为,切线方程为:,即.综上,所求的切线方程为:或.4 问题反思本例的错解是由于概念不清而造成的。概念是数学的根本,数学的教学首先是概念的教学。在高中阶段数学的概念可以简单的分为两类:一类是以
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