21-初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)整理版.pdf
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1、初中数学竞赛辅导讲座19 讲(全套) 第一讲有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算: 1、善于观察数字特征;2、灵活运用运算法则; 3、掌握常用运算技巧(凑整法、分拆 法等) 。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有 A、B 两点, A、B 之间的距离为 1,点 A 与原点 O 的距离为 3, 那么满足条件的点B 与原点 O 的距离之和等于多少?满足条件的点B 有多少 个? 例2、 将 99 98 , 1999 1998 , 98 97 , 1998 1997 这四个数按由小到大的顺序,用“”连结起来。 提示 1:四个数都加上 1 不改变大小顺序; 提示 2:先考
2、虑其相反数的大小顺序; 提示 3:考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴,用字母a、b、c 依次表示点 A、B、C 对应的数。试确定三个 数 cabab 1 , 1 , 1 的大小关系。 分析:由点 B 在 A 右边,知 b-a 0,而 A、B 都在原点左边,故ab 0,又 c 1 0,故要比 较 cabab 1 , 1 , 1 的大小关系,只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数 a与 b(b a)之间找出无数个有理数。 提示: P= n ab a(n 为大于是的自然数) 注:P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中,添上(或去掉)括号可以改变运算的次序,从而使复杂
3、的问题变得 简单。 例5、 在数 1、2、3、1990前添上“ +”和“ ”并依次运算,所得可能的最小非 负数是多少? 提示:造零: n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注:造零的基本技巧:两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算1 2 3 2000 2001 2002 提示: 1、逆序相加法。 2、求和公式: S=(首项+末项) 项数 2。 例7、 计算 1+2 3 4+5+6 7 8+9+ 2000+2001+2002 提示:仿例 5,造零。结论: 2003。 例8、 计算 999 9991999999 个个个nnn 提示 1:凑整法,并运用技巧: 1999=10 n
4、+999,999=10n 1。 例9、 计算 ) 2002 1 3 1 2 1 () 2001 1 3 1 2 1 1() 2001 1 3 1 2 1 () 2002 1 3 1 2 1 1 ( 提示:字母代数,整体化:令 2001 1 3 1 2 1 , 2001 1 3 1 2 1 1BA,则 例10、计算 (1) 10099 1 32 1 21 1 ; (2) 10098 1 42 1 31 1 提示:裂项相消。 常用裂项关系式: (1) nmmn nm11 ;(2) 1 11 )1( 1 nnnn ; (3)) 11 ( 1 )( 1 mnnmmnn ;(4) )2)(1( 1 )1
5、( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn 。 例 11 计算 n321 1 321 1 21 1 1(n 为自然数) 例 12、计算 1+2+22+23+22000 提示: 1、 裂项相消:2 n=2n+1 2 n; 2、 错项相减:令 S=1+2+22+23+22000, 则 S=2S S=22001 1。 例 13、比较 2000 2 2000 16 4 8 3 4 2 2 1 S与 2 的大小。 提示:错项相减:计算S 2 1 。 第二讲绝 对 值 一、知识要点 1、绝对值的代数意义; 2、绝对值的几何意义:(1)|a| 、 (2)|a-b|; 3、绝对值的性质: (1)|-a|
6、=|a|, |a| 0 , |a| a;(2)|a| 2=|a2|=a2; (3)|ab|=|a|b| ;(4) | | | b a b a (b 0) ; 4、绝对值方程: (1) 最简单的绝对值方程 |x|=a的解: 0 00 0 a a aa x 无解 (2)解题方法:换元法,分类讨论法。 二、绝对值问题解题关键: (1)去掉绝对值符号;(2)运用性质;(3)分类讨论。 三、例题示范 例 1 已知 a 0,化简 |2a-|a| 。 提示:多重绝对值符号的处理,从内向外逐步化简。 例 2 已知|a|=5,|b|=3,且|a-b|=b-a ,则 a+b= ,满足条件的 a 有几个? 例 3
7、已知 a、b、c 在数轴上表示的数如图,化简:|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a| 。 例 4 已知 a、b、c 是有理数,且 a+b+c=0,abc 0,求 |c ba b ac a cb 的值。 注:对于轮换对称式,可通过假设使问题简化。 例 5 已知: 例 6 已知 3 x,化简: m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。 例 7 已知|x+5|+|x-2|=7,求 x 的取值范围。 提示: 1、根轴法; 2、几何法。 例 8 是否存在数 x,使|x+3|-|x-2| 7。 提示: 1、根轴法; 2、几何法。 例 9 m 为有理数,求 |m-2|
8、+|m-4|+|m-6|+|m-8| 的最小值。 提示:结合几何图形,就m 所处的四种位置讨论。 结论:最小值为8。 例 10(北京市 1989年高一数学竞赛题)设x 是实数, 且 f (x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f(x)的最小值等于 _6_. 例 11 (1986 年扬州初一竞赛题)设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中 0p15. 对于满足 px15 的 x 的来说, T 的最小值是多少? 解由已知条件可得: T=(x-p )+(15-x )+(p+15-x )=30-x. 当 px15 时,上式中在 x 取最大值时 T 最小;当
9、 x=15 时,T=30-15=15,故 T 的最小 值是 15. 例 12 若两数绝对值之和等于绝对值之积,且这两数都不等于0. 试证这两个数都不在-1 与-之间 . 证设两数为 a、b,则 |a|+|b|=|a|b|. |b|=|a|b|-|a|=|a|(|b|-1 ). ab0,|a| 0,|b| 0. |b| -1=| a b 0,|b| 1. 同理可证 |a| 1. a、b 都不在 -1 与 1 之间. 例 13 某城镇沿环形路有五所小学,依次为一小、二小、三小、四小、五小,它们分别 有电脑 15、7、11、3、14 台,现在为使各校电脑数相等,各调几台给邻校:一小给二 小、二小给三
10、小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小3 台,即为 乙小给甲小三台,要使电脑移动的总台数最少,应怎样安排? 例 14 解方程 (1)|3x-1|=8 (2) |x-2|-1|= 2 1 (3)|3x-2|=x+4 (4)|x-1|+|x-2|+|x+3|=6. 例 15(1973年加拿大中学生竞赛题)求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解 . 分析解绝对值方程的关键是去绝对值符号,令x+3=0,x-1=0 ,分别得 x=-3,x=1,-3,1 将全部实数分成3 段:x-3 或-3x1 或 x1,然后在每一段上去绝对值符号解方程, 例如,当 x-3 时,|x+3|=-x-
11、3,|x-1|=1-x,故方程化为 -x-3+x-1=x+1 ,x=-5,x=-5 满足 x-3 ,故是原方程的一个解,求出每一段上的解,将它们合并,便得到原方程的全部解, 这种方法叫做“零点”分段法,x=-3 ,x=1 叫做零点 . 第三讲一次方程(组) 一、基础知识 1、方程的定义:含有未知数的等式。 2、一元一次方程:含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。 3、方程的解(根):使方程左右两边的值相等的未知数的值。 4、字母系数的一元一次方程:ax=b。 其解的情况: 。,ba ;,ba a b x,a 无解时当 解这任意数时当 有唯一解时当 0,0 0 ;0 5、一次方程组
12、:由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。常见的是二元 一次方程组,三元一次方程组。 6、方程式组的解:适合方程组中每一个方程的未知数的值。 7、解方程组的基本思想:消元(加减消元法、代入消元法)。 二、例题示范 例1、 解方程186)4 3 2 ( 5 1 7 1 9 1x 例2、 关于 x 的方程 6 2 3 2bkxakx 中,a,b为定值,无论 k 为何值时,方程的解总 是 1,求 a、b 的值。 提示:用赋值法,对k 赋以某一值后求之。 例 3、(第 36 届美国中学数学竞赛题)设a,ab,b是实数,且a和 a不为零,如果 方程 ax+b=0的解小于 a / x+b=0 的解
13、,求 a,ab,b应满足的条件。 例 4 解关于 x 的方程1)1( 2 axxa. 提示:整理成字母系数方程的一般形式,再就a 进行讨论 例 5 k为何值时,方程9x-3=kx+14 有正整数解?并求出正整数解。 提示:整理成字母系数方程的一般形式,再就k 进行讨论。 例 6 (1982 年天津初中数学竞赛题) 已知关于 x, y 的二元一次方程 (a-1)x+(a+2)y+52a=0, 当 a 每取一个值时就有一个方程,而这些方程有一个公共解,你能求出这个公共解,并证 明对任何 a 值它都能使方程成立吗? 分析依题意,即要证明存在一组与a 无关的 x,y 的值,使等式 (a-1)x+(a+
14、2)y+5-2a=0 恒成立,令 a 取两个特殊值(如a=1 或 a=-2),可得两个方程,解由这两个方程构成的方 程组得到一组解,再代入原方程验证,如满足方程则命题获证, 本例的另一典型解法 例 7(1989年上海初一试题),方程 并且 abc0,那么 x_ 提示: 1、去分母求解; 2、将 3 改写为 b b a a c c 。 例 8(第 4 届美国数学邀请赛试题)若x1,x 2,x3,x4和 x5满足下列方程组: 962 482 242 122 62 54321 4321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx x 确定 3x4+
15、2x5的值. 说明:整体代换方法是一种重要的解题策略. 例 9 解方程组 )3(3 )2(2 )1(1 mmzyx mzmyx mzymx 提示:仿例 8,注意就 m讨论。 例 10 如果方程组 0253 032 myx myx (1)的解是方程 2x-y=4(2)的解,求 m 的值。 提示: 1、从( 1)中解出 x,y 用 m 表示,再代入( 2)求 m ; 2、在( 1)中用消元法消去m 再与( 2)联立求出 x,y,再代入( 1)求 m。 例 11 如果方程 ax+by+cz=d 对一切 x,y,z 都成立,求 a,b,c,d的值。 提示:赋值法。 例 12 解方程组 3 32 xz
16、xzzy x 。 提示:引进新未知数 第四讲列方程(组)解应用题 一、知识要点 1、列方程解应用题的一般步骤:审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等. 2、列方程解应用题要领: (1) 善于将生活语言代数化; (2) 掌握一定的设元技巧(直接设元,间接设元,辅助设元); (3) 善于寻找数量间的等量关系。 二、例题示范 1、合理设立未知元 例 1 一群男女学生若干人, 如果女生走了 15人,则余下的男女生比例为2:1,在此之后, 男生又走了 45 人,于是男女生的比例为1:5,求原来男生有多少人? 提示: (1)直接设元 (2)列方程组: 例 2 在三点和四点之间,时钟上的分针和时针在什么时
17、候重合? 例 3 甲、乙、丙、丁四个孩子共有45 本书,如果甲减 2 本,乙加 2 本,丙增加一倍, 丁减少一半,则四个孩子的书就一样多,问每个孩子原来各有多少本书? 提示: (1)设四个孩子的书一样多时每人有x 本书,列方程; (2)设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t 本书,列方程组: 例 4 (1986年扬州市初一数学竞赛题)A、B、C三人各有豆若干粒,要求互相赠送, 先由 A给 B、C,所给的豆数等于B、C原来各有的豆数, 依同法再由 B给 A、C现有豆数, 后由 C给 A、B现有豆数,互送后每人恰好各有64 粒,问原来三人各有豆多少粒? 提示:用列表法分析数量关系。 例 5
18、 如果某一年的 5 月份中,有五个星期五,它们的日期之和为80,求这一年的 5 月 4 日是星期几? 提示:间接设元 .设第一个星期五的日期为x, 例 6 甲、乙两人分别从A、B 两地相向匀速前进,第一次相遇在距A 点 700 米处,然 后继续前进,甲到B 地,乙到 A 地后都立即返回,第二次相遇在距B 点 400 米处,求 A、B 两地间的距离是多少米? 提示:直接设元。 例 7 某商场经销一种商品,由于进货时价格比原来降低了6.4%,使得利润率增加了8 个百分点,求经销这种商品原来的利润率。 提示:商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为: 商品利润率 =(商品售价商品进价)商品进价 1
19、00%。 例 8 (1983 年青岛市初中数学竞赛题)某人骑自行车从A地先以每小时 12 千米的速 度下坡后,以每小时9 千米的速度走平路到B地,共用 55 分钟. 回来时,他以每小时8 千米的速度通过平路后, 以每小时 4 千米的速度上坡, 从 B地到 A地共用 2 1 1小时,求 A、 B两地相距多少千米? 提示: 1 (选间接元)设坡路长x 千米 2 选直接元辅以间接元)设坡路长为x 千米, A、B两地相距 y 千米 3 (选间接元)设下坡需x 小时,上坡需 y 小时, 2、设立辅助未知数 例 9 (1972年美国中学数学竞赛题)若一商人进货价便谊8% ,而售价保持不变,那么 他的利润(
20、按进货价而定)可由目前的x% 增加到 (x+10)%,x 等于多少? 提示:引入辅助元进货价M ,则 0.92M是打折扣的价格, x 是利润,以百分比表示, 那么写出售货价(固定不变)的等式。 例 10(1985年江苏东台初中数学竞赛题)从两个重为m千克和 n 千克,且含铜百分数 不同的合金上,切下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起 熔炼后,两者的含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克? 提示:采用直接元并辅以间接元,设切下的重量为x 千克,并设 m千克的铜合金中 含铜百分数为 q1,n 千克的铜合金中含铜百分数为q2。 例 11 有一片牧场,草每天都在匀速生长 ( 草
21、每天增长量相等 ) 如果放牧 24 头牛,则 6 天 吃完牧草;如果放牧21头牛,则 8 天吃完牧草,设每头牛吃草的量是相等的,问如果放牧 16 头牛,几天可以吃完牧草. 提示设每头牛每天吃草量是x,草每天增长量是y,16 头牛 z 天吃完牧草,再设牧场原有 草量是 a. 布列含参方程组。 例 12 甲、乙二人在一圆形跑道上跑步,甲用 40 秒钟就能跑完一圈,乙反向跑,每15 秒 钟和甲相遇一次,求乙跑完一圈需要多少时间? 提示:要求乙跑完一圈需要多少时间,就必须知道他的速度V米/ 秒,因此可以选择V 作参 数 3、方程与不等式结合 例 13 数学测验中共有20 道选择题。评分方法是:每答对一
22、题给6 分,答错一题扣2 分,不答不给分。有一个学生只有一道题没答,并且他的成绩在60 分以上,那么他至 少答对多少题? 提示:利用方程、不等式组成的混合组求解。 第五讲整数指数 一、知识要点 1、定义: an n aaaa 个 (n 2,n 为自然数) 2、整数指数幂的运算法则: (1) nmnm aaa (2) 0, 1 0,1 0, anm a anm anma aaa mn nm nmnm (3) mnnm aa )(, nnn baab)(,)0()(b b a b a n n n 3、规定: a 0=1(a 0) a p= p a 1 (a 0,p 是自然数 )。 4、当 a,m
23、为正整数时, a m 的末位数字的规律: 记 m=4p+q,q=1,2,3 之一,则 qp a 4 的末位数字与 q a的末位数字相同。 二、例题示范 例 1、计算 (1) 5523(2) (3a 2b3c)( 5a3bc2) (3) (3a 2b3c)3 (4) (15a 2b3c) ( 5a3bc2) 例 2、求 100310021001 1373的末位数字。 提示:先考虑各因子的末位数字,再考虑积的末位数字。 例 3、12 3021377 是目前世界上找到的最大的素数,试求其末位数字。 提示:运用规律2。 例4、 求证:)5432( |5 2000199919981997 。 提示:考虑
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