周期问题.教师版.pdf
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1、专业文档 珍贵文档 1. 掌握各种周期问题的求解方法 2. 培养学生观察、分析和逻辑推理能力。 知识点说明: 周期问题: 周期现象:事物在运动变化过程中,某些特征有规律循环出现;周期:我们把连续两次出现所经过的 时间叫周期;解决有关周期性问题的关键是确定循环周期. 分类:1图形中的周期问题; 2数列中的周期问题; 3年月日中的周期问题 周期性问题的基本解题思路是:首先要正确理解题意,从中找准变化的规律,利用这些规律作为解题 的依据;其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几 问题等。 观察、逆推等方法找规律,找出周期确定周期后,用总量除以周期,如果正好
2、有整数个周期, 结果就为周期里的最后一个; 例如: 1,2,1, 2,1,2,那么第 18 个数是多少? 这个数列的周期是2, 1829,所以第18 个数是 2 如果比整数个周期多n个,那么为下个周期里的第n个; 例如: 1,2,3, 1,2,3,1,2,3,那么第 16 个数是多少? 这个数列的周期是3, 16351,所以第 16 个数是 1 如果不是从第一个开始循环,可以从总量里减掉不是循环的个数后,再继续算 例如: 1,2,3, 2,3,2,3, 那么第 16 个数是多少? 这个数列从第二个数开始循环,周期是2, (161)271,所以第16 个数是 2 板块一、图形中的周期问题 【例
3、1】小兔和小松鼠做游戏,他们把黑、白两色小球按下面的规律排列: 你知道它们所排列的这些小球中,第90 个是什么球?第100 个又是什么球呢? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 仔细观察图中球的排列,不难发现球的排列规律是:2 个黑球,1 个白球;2 个黑球,1 个白球; 也就是按 “2 个黑球,1 个白球 ” 的顺序循环出现, 因此,这道题的周期为3 (2 个黑球,1 个白球) 再 看看 90、100 里包含有几个这样的周期,若正好有整数个周期,结果为周期里的最后一个,若是 有整数个周期多几个,结果就为下一个周期里的第几个因为90330 ,正好有 30 个周期,第 90
4、个是白球 1003331,有 33 个周期还多 1 个,所以,第100 个是黑球 【答案】第90 个是白球,第100 个是黑球 【巩固】美美有黑珠、白珠共102 个,她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上,她是按下面的顺序 例题精讲 知识精讲 教学目标 周期问题 专业文档 珍贵文档 排列的: 那么你知道这串珠子中,最后一个珠子应是什么颜色吗? 美美怕这种颜色的珠子数量不够,你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 观察可以发现,这串珠子是按“ 一白、一黑、二白”4个珠子组成一组,并且不断重复出现的我 们先算出102 个珠子可以这样排
5、列成多少组,还余多少我们可以根据排列周期判断出最后一个 珠子的颜色,还可以求出有多少个这样的珠子因为1024252,所以最后一个珠子是第26 个周期中的第二个,即为黑色在每一个周期中只有1 个黑珠子,所以黑色珠子在这串珠子中共 有 251 26 (个) 【答案】最后一个珠子是黑色的,黑色珠子在这串珠子中共有26个 【巩固】黑珠、白珠共101 颗,穿成一串,排列如下图。这串珠子中,最后一颗珠子应该是_色的 , 这种颜色的珠子在这串中共有_颗 . 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 观察图形可知从第二个珠子开始每隔3 个出现一个黑色的, 即 4 个一循环。所以: (101 1)
6、 4=25, 判定最后一个为黑色,共有25 颗。 【答案】最后一个珠子是黑色的,黑色珠子在这串珠子中共有25个 【巩固】这样的一排图形中第87 个是什么图形,在87 个图形中一 共有多少个五角星? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 87(23) 172第 87 个图形是圆形172135(个) 【答案】 35 【例 2】甲、乙、丙三个网站定期更新,甲网站每隔一天更新1 次;乙网站每隔两天更新1 次,丙网站 每隔三天更新1 次。在一个星期内,三个网站最多更新次。 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】希望杯,五年级,二试 【解析】 甲最多 4 次,乙最多3
7、次,丙最多2 次,和为9次 【答案】 35 【例 3】小倩有一串彩色珠子,按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列 第 73 颗是什么颜色的? 第 10 颗黄珠子是从头起第几颗? 第 8 颗红珠子与第11 颗红珠子之间(不包括这两颗红珠子)共有几颗珠子? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列,每一组有5 颗 73514 (组) 3(颗),第 73 颗是第 15 组的第 3 颗,所以是蓝色的 第 10 颗黄珠子前面有完整的9 组,一共有5945(颗)珠子第10 颗黄珠子是第l0 组的第 2 颗,所以它是从头数的第47 颗列式: 59245247
8、 (颗) 第 8 颗红珠子与第11 颗红珠子之间一共有14 颗珠子第8 颗红珠子与第11 颗红珠子之间有 完整的两组 (第 9、 10 组),共 l0 颗珠子,第8 颗红珠子后面还有4 颗珠子,所以是14 颗列式: 52410414 (颗) 【答案】 蓝色 4714 【巩固】在一根绳子上依次穿2 个红珠、 2 个白珠、 5 个黑珠,并按此方式反复,如果从头开始数,直到 第 50 颗,那么其中白珠有多少颗? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 50(225) 5 5 52212 (个) 【答案】12 专业文档 珍贵文档 【例 4】节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5 盏红灯、再
9、接4 盏蓝灯、再接1 盏黄灯,然后又是 5 盏红灯、 4 盏蓝灯、 1 盏黄灯、 这样排下去问: 第 150 盏灯是什么颜色? 前 200 盏彩灯中有多少盏蓝灯? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 街上的彩灯按照5 盏红灯、再接4 盏蓝灯、再接1 盏黄灯,这样一个周期变化的,实际上一个 周期就是 54110(盏)灯 150(541)15,150 盏灯刚好15 个周期,所以第150 盏应 该是这个周期的最后一盏,是黄色的灯 如果是 200 盏灯,就是200(541)20 的周期每个周期都有4 盏蓝灯, 20480 (盏) 前 200 盏彩灯中有80 盏蓝灯 【答案】 黄色8
10、0 【巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯,小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就 是说,从第一盏白灯起, 每一盏白灯后面都紧接着有3 盏彩灯那么第 73 盏灯是什么颜色的灯? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 从第一盏白灯开始,每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯,不难看出白灯的编号依次是: 1,5,9, 13, ,这些编号被4 除所得的余数都是1 734 181,即 73 被 4 除的余数 是 1,因此第73 盏灯是白灯 【答案】白灯 【巩固】按下面的摆法,摆一百个三角形,请问第100 个三角形是什么颜色的?在这100 个三角形中有 多少个白色的三角形? 【考点】周
11、期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 从图中可以看出,按照6 个为一个周期,因为1006164 ,所以第100 个三角形应该是这一 个周期当中的第四个,应该是黑色的每个周期里有3 个白色的,一共有16 个周期就有48 个白 色三角形,余下的4 个三角形中还有3 个白色的,所以一共有163351个 【答案】 51 【巩固】流水线上给小木球涂色的次序是:先5 个红、再4 个黄、再3 个绿、在2 个黑、再1 个白,然 后又依次是5红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白 如此继续涂下去,到第 2003 个小球该涂什么颜色? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 小木球的涂色顺序是
12、:“5 红、 4 黄、 3 绿、 2 黑、 1 白” ,也就是每涂过“5 红、 4 黄、 3 绿、 2 黑、 1 白” 循环一次,给小木球涂色的一个周期是5432115 ,因此只要用2003 除以 15, 2003151338根据余数是8 就可以判断:第2003 个小木球出现在上面所列一个周期中第8 个,所以第2003 个小球是涂黄色 【答案】涂黄色 【例 5】奥运会就要到了,京京特意做了一些“ 北京欢迎你 ” 的条幅,这些条幅连起来就成了:“ 北京欢迎 你北京欢迎你北京欢迎你” 依次排列,第28 个字是什么字? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 这道题是按 “ 北京欢迎
13、你 ” 的规律重复排列,即5 个字为一个周期因为28553,所以 28 个 字里含有5 个周期还多3 个字,即第28 个字就是所列一个周期中的第3 个字,所以第28 个字是 “ 欢” 字 【答案】 “ 欢” 【巩固】在图所示的表中,将每列上、下两个字组成一组,例如第一组为(新奥),第二组为(北林), 那么第 50 组是什么? 新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运 奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 要知道第 50 组是哪两个数,我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50 个字分别应该是什么第 一行 “ 新北京新奥运” 是 6 个字一个
14、周期,50682,第 50 个字就是北再看第二行“ 奥林匹 克运动会 ” 是 7 个字一个周期,5077 1,第 50 个字就是奥把第一行和第二行合在一起, 专业文档 珍贵文档 第 50 组就是 “ 北奥 ” 【答案】“ 北奥” 【例 6】小莉把平时积存下来的200 枚硬币按3 个 1 分, 2 个 2 分, 1 个 5 分的顺序排列起来 最后 1 枚是几分硬币 这 200 枚硬币一共价值多少钱? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 每个周期有3216枚硬币,要求最后一枚,用这个数除以6,根据余数来判断 200633 2,所以最后一枚是1分硬币 每个周期中6 枚硬币共价值1
15、3221512(分) , 用这个数乘以周期次数再加上余下的, 就可以得到一共价值多少了12332398 (分),所以,这200 枚硬币一共价值398 分 【答案】 1 分硬币398 分 【巩固】桌子上摆了很多硬币,按一个一角,两个五角,三个一元的次序排列,一共19 枚硬币问:最 后一个是多少钱的?第十四个是多少钱的? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 19631,14622,所以 ,第 19 枚硬币是一角的,第 14 枚硬币是五角的 【答案】最后一个是一角的,第十四个是五角的 【例 7】有 249 朵花,按5 朵红花, 9 朵黄花, 13 朵绿花的顺序轮流排列,最后一朵是
16、什么颜色的花? 这 249 朵花中,什么花最多,什么花最少?最少的花比最多的花少几朵? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 这些花按 5 红、 9 黄、 13 绿的顺序轮流排列,它的一个周期内有591327 (朵)花因为 2492796,所以,这249 朵花中含有9 个周期还余下6 朵花按花的排列规律,这6 朵 花中前 5 朵应是红花,最后一朵应是黄花在这一个周期里,绿花最多,红花最少,所以在249 朵花中,自然也是绿花最多,红花最少少几朵呢?有两种解法: (方法 1) 249(5913)9 6 红花有: 59550(朵)绿花有: 139117(朵)红花比绿花少: 1175
17、067(朵) (方法 2) 249(5913)9 6,一个周期少的:1358(朵) , 9872(朵),余下的 6 朵中还有5 朵红花,所以72567 (朵) . 【答案】红花最少,少67朵 【巩固】如图所示, 每列上、 下两个字 (字母) 组成一组, 例如,第一组是 “ 我,A” , 第二组是 “ 们,B” 我们爱科学我们爱科学我 ABCDEFGABCD 写出第62 组是什么? 如果 “ 爱, C ” 代表 1991 年,那么 “ 科,D” 代表 1992 年 问 2008 年对应怎样的组? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 要求第62 组是什么数,我们要分别求出上、下
18、两行是什么字(字母),上面一行是以“ 我们爱 科学 ” 五个字为一个周期,下面一行则是以“ ABCDEFG ” 七个字母为一个周期 62512 2 ,62786,所以第62 组是 “ 们,F” 2008 是 1991 之后的第17 组,现在上面一行按“ 科学我们爱 ” 五个字为一个周期,下面一行则按 “ DEFGABC ” 七个字母为一个周期:2008199117 (组), 17532 1772 3,所以 2008 年对应的组为 “ 学,F” 【答案】第 62 组是 “ 们,F” 2008 年对应的组为“ 学,F” 【例 8】如右图,是一片刚刚收割过的稻田,每个小正方形的边长是 1 米, A、
19、B、C 三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小 鸟飞来飞去, 四处觅食, 它最初停留在0 号位, 过了一会儿, 它跃过水洼,飞到关于A 点对称的1 号位;不久,它又飞到 关于 B 点对称的 2 号位; 接着, 它飞到关于C 点对称的3 号 位,再飞到关于A 点对称的4 号位, ,如此继续,一直 对称地飞下去。由此推断,2004 号位和 0 号位之间的距离是 专业文档 珍贵文档 多少米? 【考点】周期问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 0 米。根据题上给出的条件,动手画出,就可以了!四次再次回到0 号位置! 2004 是 4 的倍数, 所以第 2004 号位和 0 号位之间的距离是0 米
20、。 【答案】0 米 板块二、数列中的周期问题 【例 9】小和尚在地上写了一列数:7,0,2,5, 3,7,0,2, 5,3 你知道他写的第81 个数是多少吗? 你能求出这81 个数相加的和是多少吗? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 从排列上可以看出这组数按7,0,2,5,3 依次重复排列,那么每个周期就有5 个数 81 个数 则是 16 个周期还多1 个,第 1 个数是 7,所以第81 个数是 7, 81516 1 每个周期各个数之和是:7025317 再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下 的各数,即可得到答案17167279 ,所以,这81 个数相加的和是279
21、 【答案】 第 81 个数是 7 这 81个数相加的和是279 【巩固】根据下面一组数列的规律求出51 是第几个数? 1、 2、3、4、6、7、8、9、 11、12、13、14、16、17 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 观察题目可知数列个位数字每九个数一组,十位数字依次增加,0 4共五个数, 则可列式为: 5 9 1=46,即 51 为第 46 个数。 【答案】第46 个数 【巩固】如右图所示的数表中,从左往右依次看作五列,第99 行右边第一个数是几? 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 每 7 个数,分成两行一个周期,992=491,第 98 行
22、中最大的那个数为:(49 7-1) 2=684, 所以第 99 行从左到右的数依次为:686、688、690 ,第 99 行右边第一个数是690 【答案】 690 【巩固】某个早晨 ,容器中有 200个细菌 ,白天有光照 ,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照 ,容器中的细菌 将增加 40 个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡! 【考点】周期问题【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 该题属于周期中的减少问题,即不完全按照周期回归.一昼夜细菌减少6540=25 个, 200 25=8 天,该解法有误.第 6 天的时候剩余细菌:200-25 6=50,则第 7 天就可 . 【答案】第7 天
23、【例 10】 444(25 个 4),积的个位数是几? 24 个 2 相乘,积末位数字是几? 【考点】周期问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 按照乘数的个数,积的末位数字的规律是:4,6, 4,6,4,6, ,奇数个4相乘得数的末 位数字是4,偶数个4 相乘得数的末位数是6,所以 25212 1,25 个 4 相乘,积的末位数字 是 4 按照乘数的个数,末位数字的规律是2,4,8,6,2,4,8,6, ,4 个一组 2446 ,所 以 24 个 2相乘,积末位数字是6 【答案】 末位数字是4 末位数字是6 专业文档 珍贵文档 【巩固】紧接着 1989 后面写一串数字,写下的每一个数字都
24、是它前面两个数字的乘积的个位数例如, 8972,在 9 后面写 2, 9218 ,在 2 后面写 8 得到一串数字:19892868 ,问:这串 数字从 1 开始,往右数,第l999 个数字是几?这1999 个数字的和是多少? 【考点】周期问题【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 根据题意,写出这列数的前面部分数字:19892868842868842 “ 286884” 这 6 个数字重复出 现,周期是6 第 1999 个数字是:因为(19994)63323,所以,第l999 个数字是6 这 1999 个数字的和是: (1989)(286884)332(286)27119521611995
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