2020版导与练一轮复习文科数学习题:第十三篇 导数及其应用(选修1-1) 第11节 导数在研究函数中的应用第三课时 利用导数求解不等式问题 Word版含解析.pdf
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1、第三课时 利用导数求解不等式问题 【选题明细表】 知识点、方法题号 分离参数法解决不等式恒成立问题5,6 等价转化法解决不等式恒成立问题2,3 存在性不等式成立问题7 不等式证明1,4 基础巩固(时间:30 分钟) 1.设 f(x)是 R 上的可导函数,且满足 f(x)f(x),对任意的正实数 a, 下列不等式恒成立的是( B ) (A)f(a)eaf(0) (C)f(a) 解析:构造函数 g(x)=, 则 g(x)=0, 即 g(x)=是增函数,而 a0, 所以 g(a)g(0), 即 f(a)eaf(0).故选 B. 2.若对任意 a,b 满足 00,解得 00,f(x)单调递增. 所以当
2、 x= 时,f(x)有极小值,即最小值, 且 f(x)min=f( )= -2sin = -. 又 f(0)=0,f()=, 所以 f(x)max=. 由题意得|f(x1)-f(x2)|M 等价于 M|f(x)max-f(x)min|=-( -)=+. 所以 M 的最小值为+. 答案:+ 4.(2018济南模拟)已知 f(x)=(1-x)ex-1. (1)求函数 f(x)的最大值; (2)设 g(x)=,x-1 且 x0,证明:g(x)0,f(x)单调递增; 当 x(0,+)时,f(x)0 时,f(x)x. 设 h(x)=f(x)-x,则 h(x)=-xex-1. 当 x(-1,0)时,0h(
3、0)=0,即 g(x)-1 且 x0 时总有 g(x)0). (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若对任意x(0,+),f(x)恒成立,求实数m的最大值. 解:(1)由 f(x)=xln x(x0),得 f(x)=1+ln x, 令 f(x)0,得 x ; 令 f(x)0), 则 g(x)=, 由 g(x)0x1,由 g(x)0 知 k+2x-x20, 即 kx2-2x 对任意 x(0,2)都成立,从而 k0. 由不等式整理可得 k0,函数 g(x)在(1,2)上单调递增, 同理,函数 g(x)在(0,1)上单调递减, 所以 k0, 所以 a在区间1,e上有解. 令 h(x)=, 则 h(x)=. 因为 x1,e, 所以 h(x)0,h(x)单调递增, 所以 x1,e时,h(x)max=h(e)=, 所以 a, 所以实数 a 的取值范围是(-,.
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