2020版数学人教B版必修3学案:第三章 3.3~3.4 随机数的含义与应用 概率的应用 Word版含解析.pdf
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1、3.3 随机数的含义与应用 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用 概率的应用 学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念,体会几何概型的意义.2.会求一些简单的 几何概型的概率.3.了解随机数的意义, 能用计算机随机模拟法估计事件的概率.4.应用概率解 决实际问题 知识点一 几何概型的概念 思考 往一个方格中投一粒芝麻, 芝麻可能落在方格中的任何一点上 这个试验可能出现的 结果是有限个,还是无限个?若没有人为因素,每个试验结果出现的可能性是否相等? 答案 出现的结果是无限个;每个结果出现的可能性是相等的 梳理 1几何概型的定义 事件 A 理解为区域 的某一子区域 A,如图,A 的概率只与子
2、区域 A 的几何度量(长度、面 积或体积)成正比,而与 A 的位置和形状无关满足以上条件的试验称为几何概型 2几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 知识点二 几何概型的概率公式 思考 既然几何概型的基本事件有无限多个, 难以像古典概型那样计算概率, 那么如何度量 事件 A 所包含的基本事件数与总的基本事件数之比? 答案 可以用事件 A 所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示 梳理 几何概型的概率计算公式 在几何概型中,事件 A 的概率定义为:P(A),其中,表示区域 的几何度量,A表 A 示子区域 A 的几何度量
3、 知识点三 均匀随机数 1随机数 随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会一样 2计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法 建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验 的结果来确定这些量按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方 法 1与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关( ) 2随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率( ) 题型一 几何概型的识别 例 1 下列关于几何概型的说法错误的是( ) A几何概型是古典概型的一种,基本事件都要具有等可能性 B几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关 C几何概型在一次
4、试验中可能出现的结果有无限多个 D几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 答案 A 解析 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型, 几何概型中的基本事件有无限多个, 古 典概型中的基本事件为有限个 反思与感悟 几何概型特点的理解 (1)无限性:在每次随机试验中,不同的试验结果有无穷多个,即基本事件有无限多个; (2)等可能性:在每次随机试验中,每个试验结果出现的可能性相等,即基本事件的发生是 等可能的 跟踪训练 1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型 (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如图所示,图中有一个转盘,甲、乙玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时
5、,甲获胜, 否则乙获胜,求甲获胜的概率 解 (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子,所有可能结果有 6636(种),且它们的发生都是 等可能的,因此属于古典概型 (2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果, 且它们的发生都是等可能的, 而且不难发现 “指 针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域面积有关, 因此属于几何概型 题型二 几何概型的计算 命题角度1 与长度有关的几何概型 例 2 某公共汽车站,每隔 15 分钟有一辆车发出,并且发出前在车站停靠 3 分钟,求乘客 到站候车时间大于 10 分钟的概率 解 如图所示,设相邻两班车的发车时刻为 T1,T2,T1T215
6、. 设 T0T23,TT010,记“乘客到站候车时间大于 10 分钟”为事件 A. 则当乘客到站时刻 t 落到 T1T 上时,事件 A 发生 因为 T1T153102,T1T215, 所以 P(A). T1T T1T2 2 15 引申探究 1本例中在题设条件不变的情况下,求候车时间不超过 10 分钟的概率 解 由原题解析图可知,当 t 落在 TT2上时,候车时间不超过 10 分钟,故所求概率 P. TT2 T1T2 13 15 2本例中在题设条件不变的情况下,求乘客到达车站立即上车的概率 解 由原题解析图可知,当 t 落在 T0T2上时,乘客立即上车,故所求概率 P . T0T2 T1T2 3
7、 15 1 5 反思与感悟 若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个 长度,如线段长、时间区间长、距离、路程等,那么需要先求出各自相应的长度,然后运用 几何概型的概率计算公式求出事件 A 发生的概率 跟踪训练 2 平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径为 r(ra)的硬币任意掷在 这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率 解 记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件 A,如图,由图可知,硬币圆心在线段 AB 上的任意一点的出现是等可能的圆心在线段 CD(不含点 C,D)上出现时硬币不与平行线相 碰,所以 P(A). 线段CD的长度 线段AB的长度
8、2a2r 2a ar a 命题角度2 与面积有关的几何概型 例 3 设点 M(x,y)在区域(x,y)|x|1,|y|1上均匀分布出现,求: (1)xy0 的概率; (2)xy1 的概率; (3)x2y21 的概率 解 如图, 满足|x|1, |y|1 的点(x, y)组成一个边长为 2 的正方形(ABCD)区域(含边界), S 正方形 ABCD4. (1)xy0 的图象是直线 AC,满足 xy0 的点在 AC 的右上方(含 AC),即在ACD 内(含 边界),而 SACD S正方形 ABCD2,所以 P(xy0) . 1 2 2 4 1 2 (2)设 E(0,1),F(1,0),则 xy1
9、的图象是 EF 所在的直线,满足 xy1 的点在直线 EF 的 左下方, 即在五边形 ABCFE 内(不含边界 EF), 而 S五边形 ABCFES正方形 ABCDSEDF4 1 2 , 7 2 所以 P(xy1) . S五边形ABCFE S正方形ABCD 7 2 4 7 8 (3)满足 x2y21 的点是以原点为圆心的单位圆 O,SO,所以 P(x2y21) . S正方形ABCDS O S正方形ABCD 4 4 反思与感悟 如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点, 某个随 机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点, 且该区域中的每一个点被取 到的机会都一样
10、,这样的概率模型就可以视为几何概型,并且这里的区域可以用面积表示, 利用几何概型的概率公式求解 跟踪训练 3 欧阳修 卖油翁 中写到, (翁)乃取一葫芦置于地, 以钱覆其口, 徐以杓酌沥之, 自钱孔入而钱不湿若铜钱是直径为 3 cm 的圆,中间有一个边长为 1 cm 的正方形孔,若随 机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计),则油滴正好落入孔中的概率是( ) A. B. C. D. 4 9 4 3 9 4 3 4 答案 A 解析 S正方形1 cm2,S圆 2 (cm2), ( 3 2) 9 4 P,故选 A. S正方形 S圆 4 9 命题角度3 与体积有关的几何概型 例 4 已知正三棱锥 SA
11、BC 的底面边长为 a,高为 h,在正三棱锥内取点 M,试求点 M 到 底面的距离小于 的概率 h 2 解 如图,分别在 SA,SB,SC 上取点 A1,B1,C1,使 A1,B1,C1分别 为 SA,SB,SC 的中点,则当点 M 位于平面 ABC 和平面 A1B1C1之间时, 点 M 到底面的距离小于 . h 2 设ABC 的面积为 S,由ABCA1B1C1,且相似比为 2,得A1B1C1的面积为 . S 4 由题意,知区域 D(三棱锥 SABC)的体积为 Sh, 1 3 区域 d(三棱台 ABCA1B1C1)的体积为 Sh Sh. 1 3 1 3 S 4 h 2 7 24 所以点 M 到
12、底面的距离小于 的概率为 P . h 2 7 8 反思与感悟 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示, 则其概率的计算公式 为 P(A). 构成事件A的区域体积 试验的全部结果所构成的区域体积 解决此类问题的关键是注意几何概型的条件,分清所求的概率是与体积有关还是与长度有 关,不要将二者混淆 跟踪训练 4 在一个球内有一棱长为 1 的内接正方体,一动点在球内运动,则此点落在正方 体内部的概率为( ) A. B. 6 3 2 C. D. 3 23 3 答案 D 解析 由题意可知这是一个几何概型,棱长为 1 的正方体的体积 V11,球的直径是正方体 的体对角线长,故球的半径 R,球的体积
13、 V2 3 ,则此点落在正方体 3 2 4 3 ( 3 2) 3 2 内部的概率 P. V1 V2 23 3 题型三 均匀随机数及随机模拟方法 例 5 在如图所示的正方形中随机撒一把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆 子数之比并以此估计圆周率的值. 解 随机撒一把豆子, 每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的, 落在每个区域的豆子数 与这个区域的面积近似成正比, 即. 圆的面积 正方形的面积 落在圆中的豆子数 落在正方形中的豆子数 设正方形的边长为 2,则圆的半径为 1,则 ,由于落在每个区域的 圆的面积 正方形的面积 2 2 4 豆子数是可以数出来的,所以 4.所以就得到了 的近似
14、值 落在圆中的豆子数 落在正方形中的豆子数 反思与感悟 (1)用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转 化为随机数的范围用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次 数不可能很大 (2)用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以 在短时间内进行多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识 跟踪训练 5 利用随机模拟方法计算由 y1 和 yx2所围成的图形的面积 解 以直线 x1,x1,y0,y1 为边界作矩形, (1)利用计算器或计算机产生两组 01 区间的均匀随机数,a1RAND,bRAND; (2
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