2020版数学人教B版必修3学案:第三章 3.1.4 概率的加法公式 Word版含解析.pdf
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1、3.1.4 概率的加法公式 概率的加法公式 学习目标 1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系.2.会用互斥事件的概率加法公式求概 率.3.会用对立事件的概率公式求概率 知识点一 事件的运算 思考 一粒骰子掷一次,记事件 C出现的点数为偶数,事件 D出现的点数小于 3, 当事件 C,D 都发生时,掷出的点数是多少?事件 C,D 至少有一个发生时呢? 答案 事件 C,D 都发生,即掷出的点数为偶数且小于 3,故此时掷出的点数为 2.事件 C,D 至少有一个发生,掷出的点数可以是 1,2,4,6. 梳理 事件的并 一般地,由事件 A 和 B 至少有一个发生(即 A 发生,或 B 发生,或 A,B 都
2、发生)所构成的事 件 C,称为事件 A 与 B 的并(或和)记作 CAB.事件 AB 是由事件 A 或 B 所包含的基本 事件所组成的集合如图中阴影部分所表示的就是 AB. 知识点二 互斥与对立的概念 思考 一粒骰子掷一次, 事件 E出现的点数为 3, 事件 F出现的点数大于 3, 事件 G 出现的点数小于 4,则 E 与 F 是什么事件?G 与 F 是什么事件? 答案 E,F 不能同时发生,E 与 F 是互斥事件但不是对立事件 G,F 不能同时发生,且 G,F 必有一个发生,G 与 F 既是互斥事件又是对立事件 梳理 1互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事件) 2对
3、立事件:不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件事件 A 的对立 事件记作 .由于 A 与 是互斥事件,所以 P()P(A )P(A)P( ),又由 是必然事件,AAAA 得到 P()1.所以 P(A)P( )1,即 P( )1P(A)AA 知识点三 概率的基本性质 思考 概率的取值范围是什么?为什么? 答案 概率的取值范围是 01 之间,即 0P(A)1;由于事件的频数总是小于或等于试验 的次数,所以频率在 01 之间,因而概率的取值范围也在 01 之间 梳理 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为0,1 (2)必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0. (3)互斥事件的
4、概率加法公式 假定 A,B 是互斥事件,则 P(AB)P(A)P(B) 一般地,如果事件 A1,A2,An两两互斥(彼此互斥),那么事件“A1A2An”发 生(是指事件 A1,A2,An中至少有一个发生)的概率,等于这 n 个事件分别发生的概率和, 即 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 1若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件( ) 2若两个事件是对立事件,则这两个事件也是互斥事件( ) 3若两个事件是对立事件,则这两个事件概率之和为 1.( ) 题型一 事件关系的判断 例 1 从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从 110 各 10 张)中,任取一张 (1)
5、“抽出红桃”与“抽出黑桃” ; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌” ; (3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9” 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由 解 (1)是互斥事件,不是对立事件 理由是 : 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的, 所以是互斥事件同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者 “梅花” ,因此,二者不是对立事件 (2)既是互斥事件,又是对立事件 理由是:从 40 张扑克牌中,任意抽取 1 张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌” ,两个事件不 可能同时发生,但其中
6、必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件 (3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件 理由是 : 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大 于 9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌点数为 10,因此,二者不是互斥事件,当然不 可能是对立事件 反思与感悟 (1)不可能事件记作,任何事件都包含不可能事件 (2)事件的包含关系与集合的包含关系相似, 不可能事件与空集相似, 学习时要注意类比记忆 (3)事件 A 也包含于事件 A,即 AA. (4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件,相等的事件 A,B 总是同时发生或同时不 发生 跟踪训练 1
7、 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么下列各对事件中,互斥 而不对立的是( ) A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球 C至少有一个红球与至少有一个白球 D恰有一个红球与恰有两个红球 答案 D 解析 根据互斥事件与对立事件的定义判断A 中两事件不是互斥事件,事件“3 个球都是 红球”是两事件的交事件;B 中两事件是对立事件;C 中两事件能同时发生,如“恰有一个 红球和两个白球” ,故不是互斥事件;D 中两事件是互斥而不对立事件 题型二 互斥事件的概率加法公式 例 2 在数学考试中,小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18,在 8089 分的概率是 0
8、.51, 在 7079 分的概率是 0.15, 在 6069 分的概率是 0.09, 计算小明在数学考试中取得 80 分以 上成绩的概率和小明考试及格的概率 解 分别记小明的考试成绩在90分以上, 在8089分, 在7079分, 在6069分为事件B, C, D,E,这四个事件是彼此互斥的根据概率的加法公式,小明的考试成绩在 80 分以上的概 率是 P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69. 小明考试及格的概率为 P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.09 0.93. 反思与感悟 在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的、并且概率已
9、 知(或较容易求出)的彼此互斥的事件,然后利用概率的加法公式求出概率因此互斥事件的 概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效,但需要注意的是使用该公式时必须检验 是否满足它的前提条件“彼此互斥” 跟踪训练 2 假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为 0.025,其 余两个各为 0.1,只要炸中一个,另两个也要发生爆炸,求投掷一枚炸弹,军火库发生爆炸的 概率 解 因为只投掷了一枚炸弹,故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的 令 A,B,C 分别表示炸中第一、第二、第三个军火库, 则 P(A)0.025,P(B)P(C)0.1. 令 D 表示军火库爆炸这个事件,
10、则有 DABC,又因为 A,B,C 是两两互斥事件,故所 求概率为 P(D)P(A)P(B)P(C)0.0250.10.10.225. 题型三 用互斥、对立事件求概率 例 3 甲、乙两人下棋,和棋的概率是 ,乙获胜的概率为 ,求:(1)甲获胜的概率;(2)甲不 1 2 1 3 输的概率 解 (1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率为 1 1 2 . 1 3 1 6 (2)方法一 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以 P(甲不 输) . 1 6 1 2 2 3 方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件,所以 P(甲不输)1 ,故甲
11、不输 1 3 2 3 的概率为 . 2 3 反思与感悟 (1)只有当 A,B 互斥时,公式 P(AB)P(A)P(B)才成立;只有当 A,B 互为 对立事件时,公式 P(A)1P(B)才成立 (2)复杂的互斥事件概率的求法有两种:一是直接求解,将所求事件的概率分解为一些彼此互 斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算;二是间接求解,先找出所求事件 的对立事件,再用公式 P(A)1P( )求解A 跟踪训练 3 从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A“抽到一等品” ,事件 B“抽到二 等品” ,事件 C“抽到三等品” 已知 P(A)0.65,P(B)0.2,P(C)0.1,则事件“抽到的
12、 不是一等品”的概率为( ) A0.20 B0.39 C0.35 D0.90 答案 C 解析 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,而 P(A)0.65,抽到的不是一等品 的概率是 10.650.35. 1从 1,2,9 中任取两数,其中: 恰有一个偶数和恰有一个奇数;至少有一个奇数 和两个数都是奇数;至少有一个奇数和两个数都是偶数;至少有一个奇数和至少有一个 偶数 在上述各对事件中,是对立事件的是( ) A B C D 答案 C 解析 从 1,2, 9 中任取两数, 包括一奇一偶、 两奇、 两偶, 共三种互斥事件, 所以只有 中的两个事件才是对立事件 2 口袋内装有一些大小相同的红球、 白
13、球和黑球, 从中摸出 1 个球, 摸出红球的概率是 0.42, 摸出白球的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是( ) A0.42 B0.28 C0.3 D0.7 答案 C 解析 摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件, 摸出黑球的概率是 10.420.28 0.3,故选 C. 3中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为 ,乙夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_ 3 7 1 4 答案 19 28 解析 由于事件 “中国队夺得女子乒乓球单打冠军” 包括事件 “甲夺得冠军” 和 “乙夺得冠军” , 但这两个事件不可能同时发生,即彼此互
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