2020版数学人教B版必修3学案:第三章 概率 章末复习 Word版含解析.pdf
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1、章末复习章末复习 学习目标 1.理解频率与概率的关系,会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事 件的概率及其基本性质, 能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概 型与几何概型,并能求相应概率 1频率与概率 频率是概率的近似值,是随机的,随着试验的不同而变化 ; 概率是多数次的试验中频率的稳 定值,是一个常数,不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率 2求较复杂概率的常用方法 (1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和; (2)先求其对立事件的概率,然后再应用公式 P(A)1P( )求解A 3古典概型概率的计算 : 关键要分清基本事件的总数 n 与事件 A 包含的基本
2、事件的个数 m, 再利用公式 P(A) 求解有时需要用列举法把基本事件一一列举出来,在列举时必须按某 m n 一顺序做到不重不漏 4几何概型事件概率的计算 关键是求得事件 A 所占区域和整个区域的几何测度,然后代入公式求解 1对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件( ) 2“在适当条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型( ) 3几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的 每一点被取到的机会相等( ) 题型一 频率与概率 例 1 对一批 U 盘进行抽检,结果如下表: 抽出件数 a50100200300400500 次品件数 b345589 次
3、品频率b a (1)计算表中次品的频率; (2)从这批 U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少? (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售 2 000 个 U 盘,至少需进货多少个 U 盘? 解 (1)表中次品频率从左到右依次为 0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数 a 越来越大时,出现次品的频率在 0.02 附近摆动,所以从这批 U 盘中任意抽 取一个是次品的概率约是 0.02. (3)设需要进货 x 个 U 盘,为保证其中有 2 000 个正品 U 盘,则 x(10.02)2 000,因为 x 是正整数,所以 x2 041,即至少需进
4、货 2 041 个 U 盘 反思与感悟 概率是个常数但除了几何概型,概率并不易知,故可用频率来估计 跟踪训练 1 某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下: 射击次数 n102050100200500 击中靶心次数 m8194492178455 击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91 (1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少? (2)假设该射击运动员射击了 300 次,则击中靶心的次数大约是多少? (3)假如该射击运动员射击了 300 次, 前 270 次都击中靶心, 那么后 30 次一定都击不中靶心吗? (4)假如该射击运动员射击了10次
5、, 前9次中有8次击中靶心, 那么第10次一定击中靶心吗? 解 (1)由题意得,击中靶心的频率与 0.9 接近,故概率约为 0.9. (2)击中靶心的次数大约为 3000.9270. (3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化后 30 次中,每次击中 靶心的概率仍是 0.9,所以不一定不击中靶心 (4)不一定 题型二 互斥事件与对立事件 例 2 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 5 个不同题目,选择题 3 个,判断题 2 个,甲、 乙两人各抽一题 (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 解 把
6、 3 个选择题记为 x1,x2,x3,2 个判断题记为 p1,p2.“甲抽到选择题,乙抽到判断题” 的情况有:(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共 6 种; “甲抽到判断题, 乙抽到选择题” 的情况有 : (p1, x1), (p1, x2), (p1, x3), (p2, x1), (p2, x2), (p2, x3), 共 6 种; “甲、乙都抽到选择题”的情况有 : (x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2), 共 6 种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1,p2),(p
7、2,p1),共 2 种 因此基本事件的总数为 666220. (1)“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为,“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概 6 20 3 10 率为,故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题”的概率为 . 6 20 3 10 3 10 3 10 3 5 (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为,故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题” 2 20 1 10 的概率为 1. 1 10 9 10 反思与感悟 在求有关事件的概率时,若从正面分析,包含的事件较多或较烦琐,而其反面 却较容易入手,这时,可以利用对立事件求解 跟踪训练 2 猎人在距离 100 米处射击一野兔,命中的
8、概率为 ,如果第一次没有命中,则 1 2 猎人进行第二次射击,但距离已是 150 米,如果又没有击中,则猎人进行第三次射击,但距离 已是 200 米 已知猎人命中兔子的概率与距离的平方成反比, 则三次内击中野兔的概率是多少? 解 三次内击中野兔, 即第一次击中野兔或第二次击中野兔或第三次击中野兔, 设第一、 二、 三次击中野兔分别为事件 A,B,C. 设距离为 d,命中的概率为 P,则有 P, k d2 将 d100,P 代入上式,可得 k5 000, 1 2 所以 P, 5 000 d2 所以 P(B) , 1 2 5 000 1502 1 9 P(C) . 1 2 7 9 5 000 20
9、02 7 144 又已知 P(A) , 1 2 所以 P(ABC)P(A)P(B)P(C) . 1 2 1 9 7 144 95 144 故三次内击中野兔的概率为. 95 144 题型三 古典概型与几何概型 例 3 某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 Sxyz 评价该产品的等 级若 S4,则该产品为一等品现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质 量指标列表如下: 产品编号A1A2A3A4A5 质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1) 产品编号A6A7A8A9A10 质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1
10、)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品, 用产品编号列出所有可能的结果; 设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4” ,求事件 B 发生的 概率 解 (1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表: 产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 S4463454535 其中 S4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为0.6,从而可 6 10 估计该批产品的一等品率为 0.6. (2)在该样本的一等品中, 随机抽
11、取 2 件产品的所有可能结果为A1, A2, A1, A4, A1, A5, A1, A7, A1, A9, A2, A4, A2, A5, A2, A7, A2, A9, A4, A5, A4, A7, A4, A9, A5, A7, A5,A9,A7,A9,共 15 种 在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有可能结果为A1,A2,A1,A5,A1,A7,A2,A5,A2,A7,A5,A7,共 6 种 所以 P(B) . 6 15 2 5 反思与感悟 古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性 ; 不同点是前者总的基
12、 本事件有限,后者无限 跟踪训练 3 如图所示的大正方形面积为 13,四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方 形,较短的直角边边长为 2,向大正方形内投掷飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率为( ) A. B. C. D. 4 13 3 13 2 13 1 13 答案 D 解析 设阴影小正方形边长为 x,则在直角三角形中 有 22(x2)2()2,13 解得 x1 或 x5(舍去), 阴影部分面积为 1, 飞镖落在阴影部分的概率为. 1 13 题型四 数形结合思想在求解概率中的应用 例 4 口袋里装有 2 个白球和 2 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,四个人按顺序依次从 中摸出 1 个球(不放
13、回),试求“第二个人摸到白球”的概率 解 把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁,把 2 个白球编上序号 1,2,把 2 个黑球也编上序 号 1,2,于是四个人按顺序依次从袋内摸出 1 个球的所有可能结果,可用树形图直观地表示 出来,如图所示 从上面的树形图可以看出, 试验的所有可能结果为 24.第二人摸到白球的结果有 12 种, 记第 二个人摸到白球为事件 A,则 P(A) . 12 24 1 2 反思与感悟 事件个数没有很明显的规律, 而且涉及的基本事件又不是太多时, 我们可借助 树形图直观地将其表示出来,有利于条理地思考和表达 跟踪训练 4 如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA
14、,OB 为直径作两个半 圆在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ) A1 B. 2 1 2 1 C. D. 2 1 答案 A 解析 设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于点 C,OA 的中点为 D,如图,连接 OC,DC. 不妨令 OAOB2,则 ODDADC1. 在以 OA 为直径的半圆中,空白部分面积 S1 111, 4 1 2 ( 4 1 2 1 1) 所以整体图形中空白部分面积 S22. 又因为 S扇形 OAB 22, 1 4 所以阴影部分面积为 S32. 所以 P1 . S3 S扇形OAB 2 2 1下列事件: 任取三条线段,这三条线段恰好组成直角三角形 ;
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