2020版数学人教B版必修3学案:第三章 概率 Word版含解析.pdf
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1、1 辨析频率与概率 概率与频率虽只有一字之差,但意义大不相同,同时二者之间又有一定的联系下面和同学 们一起认识一下这对“孪生兄弟” 一、频率与概率的区别 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,它的值等于随机事件发生的次数与试验总次数的 比频率是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的某事件发生的频率不 一定相同而概率是一个确定的值,是客观存在的,与每次试验无关,与试验次数也无关 例 1 连续抛掷一枚硬币 10 次,落地后正面向上出现了 6 次,设“抛一次硬币,正面向上” 为事件 A,则下列说法正确的有_ P(A) ;P(A) ; 3 5 3 5 再连续抛掷该硬币 10 次,落地后出
2、现正面的次数还是 6; 事件 A 发生的频率为 ; 3 5 无论哪一次抛,硬币落地后正面向上的概率相同 解析 正确在一次试验中,事件 A 发生的概率为 ,再连续抛掷该硬币 10 次,落地后 1 2 出现正面的次数不确定 答案 点评 频率的随机性和概率的确定性是二者的本质区别 二、频率与概率的联系 1在大量重复进行同一试验时,频率总是在某个常数附近摆动由于事件的随机性,有时候 频率也可能出现偏离该“常数”较大的情形,但随着试验次数的增加,这种情形出现的可能 性会减小概率是频率的稳定值,可看作是频率在 理论上的平均值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 2在实际问题中,某些随机事件的概率往
3、往难以确切的得到,因此我们常常通过大量的重复 试验,用随机事件发生的频率来估计概率 例 2 一个不透明的袋中装有大小质地相同的红、 白两种颜色的小球, 某学习小组做摸球试验, 每次从袋中摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀后再摸试验的部分数据如下表: 摸球次数306090120150180210270300 摸到红球的次数6253138455367 摸到红球的频率0.3000.247 (1)将表格补充完整;(所求频率保留 3 位小数) (2)估计从中随机摸一个球,求摸到红球的概率 P.(保留 2 位小数) 解 (1)第二行依次填:18,74. 第三行依次填:0.200,0.278,0.258,0.
4、253,0.250,0.252,0.248. (2)由(1)知,虽然抽取次数不同,所得频率值不同,但随试验次数的增加,频率在常数 0.250 附近摆动,故 P0.25. 点评 只有当频率值在某一常数附近摆动时,才能将此常数近似看作该事件发生的概率现 实生活中很多事件的概率是难以确切得到的,鉴于随机事件的发生带有随机性的同时又存在 一定的规律性,故一般通过大量的重复试验,用随机事件的频率来估计概率. 2 概率加法公式应用点拨 概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式,根据它可以计算一些复杂事件的概率概 率的加法公式可推广为若事件 A1,A2,An彼此互斥(两两互斥),则 P(A1A2An) P
5、(A1)P(A2)P(An),即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和用此公 式时,同学们首先要判断事件是否互斥,如果事件不互斥,就不能用此公式下面举例说明 概率加法公式的应用 一、计算互斥事件和的概率 例 1 由经验得知,某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表: 排队人数012345 人以上 概率0.100.160.300.30.100.04 求:(1)至多 2 人排队的概率; (2)至少 2 人排队的概率 解 (1)记 “没有人排队” 为事件 A, “1 人排队” 为事件 B, “2 人排队” 为事件 C, 则 A, B, C 彼此互斥 P(ABC)P(A)P(B)P
6、(C)0.100.160.300.56. (2)记“至少 2 人排队”为事件 D,“少于 2 人排队”为事件 AB,那么事件 D 与事件 AB 是对立事件,则 P(D)P()1P(A)P(B)1(0.100.16)0.74.A B 点评 应用概率加法公式求概率的前提有两个:一是所求事件是几个事件的和,二是这几个 事件彼此互斥在应用概率加法公式前,一定要弄清各事件之间的关系,把一个事件分拆为 几个彼此互斥的事件的和,再应用公式求解所求概率 二、求解“至少”与“至多”型问题 例 2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试,已知恰有 1 人过关(事件 A)的概率为 0.198, 恰有 2 人过关(事件
7、 B)的概率为 0.38, 恰有 3 人过关(事件 C)的概率为 0.302,4 人都过关(事件 D) 的概率为 0.084.求: (1)至少有 2 人过关的概率 P1; (2)至多有 3 人过关的概率 P2. 分析 “至少有 2 人过关”即事件 BCD.“至多有 3 人过关”即事件 A,B,C 与事件“4 人均未过关”的并事件,其对立事件为 D.(注意“4 人均未过关”这种可能情况) 解 由条件知,事件 A,B,C,D 彼此互斥 (1)P1P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.766. (2)P2P( )1P(D)10.0840.916.D 点评 处理“至多”“至少”型问题,既可以分情况讨
8、论,也可以从反面考虑,即借助对立 事件的概率间接求解当事件包含的情况较多时,常利用 P(A)1P( )求 P(A)A 三、列方程求解概率问题 例 3 某班级同学的血型分别为 A 型、B 型、AB 型、O 型,从中任取一名同学,其血型为 AB 型的概率为 0.09, 为 A 型或 O 型的概率为 0.61, 为 B 型或 O 型的概率为 0.6, 试求任取一人, 血型为 A 型、B 型、O 型的概率各是多少? 分析 设出所求事件的概率,将题中涉及到的事件用所求事件表示出来,借助这些事件的概 率及公式,列方程求解即可 解 记 “任取一人, 血型为 A 型” , “任取一人, 血型为 B 型” ,
9、“任取一人, 血型为 AB 型” , “任 取一人,血型为 O 型”分别为事件 E,F,G,H,显然事件 E,F,G,H 两两互斥 故Error!Error! 解得Error!Error! 所以任取一人,血型为 A 型、B 型、O 型的概率分别为 0.31、0.3、0.3. 点评 本题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点挖掘题目中的隐含条件并合理利 用是解决某些问题的关键,同学们应注重这种能力的培养. 3 随机事件的概率 结论 1 概率大的随机事件不一定意味着肯定发生在一次试验中,概率大的随机事件的发 生不一定优于概率小的随机事件的发生 释义 对于概率的大小问题, 只能说明相对于同一随机事
10、件而言, 概率大的发生的可能性大, 概率小的发生的可能性小 例 1 在一次试验中,随机事件 A 发生的概率是 0.3,随机事件 B 发生的概率是 0.7,你认为 如果做一次试验,可能出现 B 不发生 A 发生的现象吗?为什么? 解 这是可能的因为随机事件 B 的发生概率大于随机事件 A 的发生概率,但并不意味着在 一次试验中随机事件 B 的发生一定优于随机事件 A 的发生,随机事件的发生是不确定的 结语 结论 1 实现实际生活中小概率事件发生的可能性对于概率问题,必须注意的是概率 是相对于大量重复试验的前提下得到的理论值,但在少数的有限试验中,概率不一样的随机 事件发生的可能性无法确定 结论
11、2 概率是由巨大数据统计后得出的结论,是一种大的整体的趋势;而频率是数据统计 的结果,是一种具体的趋势和规律概率可以看作频率在理论上的期望值 释义 概率与频率的关系是整体与具体、理论与实践、战略与战术的关系,频率随着随机事 件次数的增加会趋向于概率在处理具体的随机事件时,用概率作指导,以频率为依据 例 2 在某次射击比赛中, 甲运动员在决赛中以 0.2 环的微弱优势战胜了乙运动员, 摘得该项 的金牌下表是两人在参赛前训练中击中 10 环以上的次数统计: 甲运动员: 射击次数 n102050100200500 击中 10 环以上的次数 m9174492179450 击中 10 环以上的频率m n
12、 乙运动员: 射击次数 n102050100200500 击中 10 环以上的次数 m8194493177453 击中 10 环以上的频率m n 请根据以上表格中的数据回答以下问题: (1)分别计算出两位运动员击中 10 环以上的频率; (2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员在该比赛中每次击中 10 环以上的概率 解 (1)两运动员击中 10 环以上的频率分别为: 甲:0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9; 乙:0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906; (2)由(1)中的数据可知两位运动员击中 10 环以上的频率都集中在 0.9 这个数的附近,所以
13、可 以预测两位运动员在该比赛中每次击中 10 环以上的概率为 0.9,即两人的实力相当 结语 结论 2 实现频率与概率既有联系又有区别,频率随着随机事件的试验次数的不断增加 而趋向于概率 结论 3 两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立 释义 对立事件是互斥事件的一个特例,两个互斥事件不一定是对立事件,而两个对立事件 必为互斥事件 例 3 一个不透明的袋中装入 4 个白球与 4 个黑球,从中任意摸出 3 个球 (1)可能发生哪些事件? (2)指出其中每个事件的互斥事件; (3)事件“至少摸出 1 个白球”是哪几个事件的和事件?它的对立事件是哪个事件? 解 (1)以白球或黑球的个数作为讨论标准,可
14、能发生下列事件: 摸出 3 个白球,记为事件 A; 摸出 2 个白球,1 个黑球,记为事件 B; 摸出 1 个白球,2 个黑球,记为事件 C; 摸出 3 个黑球,记为事件 D; (2)事件 A,B,C,D 彼此互斥; (3)“至少摸出 1 个白球”的事件为 A,B,C 的和事件,即“至少摸出 1 个白球”的对立事 件是 D. 结语 结论 3 实现对立事件与互斥事件的联系与区别特别在解答一些问题时,在把复杂事 件加以分解的事件个数不是太多的情况下,可以把所有的事件罗列下来,结合互斥事件与对 立事件的概念加以辨析. 4 点击互斥事件 一、互斥事件、对立事件的概念 1“互斥事件”和“对立事件”都是就
15、两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两个 事件,也就是说互斥事件至多有一个发生,也有可能两个都不发生,而对立事件是其中必有 一个发生的互斥事件因此,对立事件必须是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,也 就是说对立事件是互斥事件的充分不必要条件 2从集合的角度理解 : 两个互斥事件对应的基本事件所组成的集合的交集为空集,并集可能 是全集,也可能不是全集;当 A,B 是对立事件时,其交集为空集,并集是全集 3 互斥事件之间的关系中的 “不能同时发生” 体现了分类讨论的原则 “不重复” , 而 “不遗漏” 则表现在所有互斥事件的和是整个事件(必然事件) 二、例题点击 1互斥事件、对立事件的判
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