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1、专题突破练(7) 概率与其他知识的交汇专题突破练(7) 概率与其他知识的交汇 一、选择题 1(2018太原五中测试)在区间1,5上随机地取一个数m,则方程 4x2m2y21 表 示焦点在y轴上的椭圆的概率是( ) A B C D 1 5 1 4 3 5 3 4 答案 B 解析 由方程 4x2m2y21,即1 表示焦点在y轴上的椭圆,得 0,即ab,所 以满足条件的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共 6 个基本事件,所 以所求的概率为P 故选 D 6 9 2 3 5(2018湖北部分重点中学联考二)已知实数a,b是利用计算机产生的 01 之间的 均匀随机
2、数,设事件A为“(a1)2b2 ” ,则事件A发生的概率为( ) 1 4 A B1 C D1 16 16 4 4 答案 B 解析 分别以a,b为横轴和纵轴建立平面直角坐标系,则符合题意的实数对(a,b)表 示的平面区域为边长为 1 的正方形及其内部, 其中使得事件A不发生的实数对(a,b)表示的 平面区域为以(1,0)为圆心,半径为 的四分之一个圆及其内部,则事件A发生的概率为 1 2 1故选 B 1 4 1 2 2 1 16 6(2018江西重点中学盟校联考一)如图,在圆心角为直角的扇形OAB区域中,M,N 分别为OA,OB的中点, 在M,N两点处各有一个通信基站, 其信号的覆盖范围分别为以
3、OA,OB 为直径的圆,在扇形OAB内随机取一点,则能够同时收到两个基站信号的概率是( ) A1 B 2 1 2 1 C2 D 4 1 答案 B 解析 设以OA,OB为直径的两个圆相交于点C, 由题意,OA的中点是M, 则CMO90, 设扇形OAB的半径为OAr,则S扇形OAB r2,S半圆OAC r2,SOMC ,所 1 4 1 8 1 2 r 2 r 2 r2 8 以能够同时收到两个基站信号部分的面积为 2S半圆OACSOMC,所以所求概率为 1 2 r2 8 r2 4 故选 B r2 8 r 2 4 1 4r 2 1 2 1 7(2018山西考前适应训练)甲、乙二人约定 7:10 在某处
4、会面,甲在 7:007:20 内某一时刻随机到达,乙在 7:057:20 内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙 5 分钟 的概率是( ) A B C D 1 8 1 4 3 8 5 8 答案 C 解析 设甲、 乙到达约会地点的时刻分别是x,y, 则取值范围为Error!Error!对应区域是以 20 和 15 为边长的长方形,其中甲至少需等待乙 5 分钟满足yx5,对应区域是以 15 为直角 边的等腰直角三角形(如图中阴影部分(含边界)所示), 则所求概率为 故 1 2 15 15 20 15 3 8 选 C 二、填空题 8(2019成都模拟)甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示
5、,其中一个 数字被污损,记甲、乙的平均成绩分别为 甲,乙,则甲乙的概率是_ xxxx 答案 2 5 解析 乙的综合测评成绩为 86,87,91,92,94, 乙 90,污x 8687919294 5 损处可取数字 0,1,2,9,共 10 种,而 甲乙发生对应的数字有 6,7,8,9,共 4 种, xx 故 甲乙的概率为 xx 4 10 2 5 9(2018安徽联考)将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的 点数记为b,设任意投掷两次使l1:xay3,l2:bx6y3 平行的概率为P1,不平行的 概率为P2,若点(P1,P2)在圆(xm)2y2的内部,则实数m的取值范围是_ 6
6、5 72 答案 6635, 60 24 1812 62 36 24 30 30 故有 99%的把握认为物理成绩的好与不好和数学成绩有关 12 (2018湖南雅礼中学月考八)随着移动互联网的快速发展, 基于互联网的共享单车 应运而生 某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况, 对该公司最近六个月 内的市场占有率进行了统计,并绘制了相应的折线图 (1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的 关系求y关于x的线性回归方程,并预测M公司 2018 年 4 月份的市场占有率; (2)为进一步扩大市场, 公司拟再采购一批单车 现有采购成本分别为 1000 元/辆
7、和 1200 元/辆的A,B两款车型可供选择,按规定每辆单车最多使用 4 年,但由于多种原因(如骑行 频率等)会导致车辆报废年限各不相同考虑到公司运营的经济效益,该公司决定先对两款 车型的单车各 100 辆进行科学模拟测试,得到两款单车使用寿命频数表如下: 报废年限车型1 年2 年3 年4 年总计 A20353510100 B10304020100 经测算,平均每辆单车每年可以带来收入 500 元不考虑除采购成本之外的其他成本, 假设每辆单车的使用寿命都是整数年, 且以频率作为每辆单车使用寿命的概率 如果你是M 公司的负责人,以每辆单车产生利润的均值为决策依据,你会选择采购哪款车型? 参考数据
8、: (xi )(yi )35, (xi )2175 6 i1 xy 6 i1 x 参考公式:回归直线方程为 x ,y b a 其中 , b n i1xixyiy n i1xix2 a yb x 解 (1)由题意, 35, 16, 2,xyb 35 17.5 162359,a yb x 2x9,y 当x7 时, 27923,y 即预测M公司 2018 年 4 月份(即x7 时)的市场占有率为 23% (2)由频率估计概率, 每辆A款车可使用 1 年、 2 年、 3 年、 4 年的概率分别为 0 2, 0 35, 035,01 每辆A款车的利润均值为(5001000)02(10001000)035
9、(1500 1000)035(20001000)01175(元); 每辆B款车可使用 1 年、2 年、3 年、4 年的概率分别为 01,03,04,02, 每辆B款车的利润均值为(5001200)01(10001200)03(1500 1200)04(20001200)02150(元), 175150,应该采购A款车 第三部分 数学思想专练 函数与方程思想专练 一、选择题 1椭圆y21 的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一 x2 4 交点为P,则|PF2|( ) A B C D4 3 2 3 7 2 答案 C 解析 如图,令|F1P|r1, |F2P|r2, 那么E
10、rror!Error!Error!Error!r2 故选 C 7 2 2 (2018湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是 R R 上的单调函数, 若函数yf(2x2 1)f(x)只有一个零点,则实数的值是( ) A B C D 1 4 1 8 7 8 3 8 答案 C 解析 依题意, 方程f(2x21)f(x)0只有1个解, 故f(2x21)f(x) f(x)有1解, 所以2x21x, 即2x2x10有唯一解, 故18(1) 0,解得 故选 C 7 8 3设a1,若对于任意的xa,2a,都有ya,a2满足方程 logaxlogay3,这 时a的取值的集合为( ) Aa|11,由此解得a2故
11、选 B 4若 2x5y2y5x,则有( ) Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 答案 B 解析 原不等式可变形为 2x5x2y5y 即 2x x2yy 故设函数f(x) ( 1 5) ( 1 5) 2x x,f(x)为增函数,所以xy,即xy0故选 B ( 1 5) 5为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB60,BC的长度大于 1 米,且AC比AB长 05 米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为( ) A1米 B2 米 3 2 C(1) 米 D(2) 米33 答案 D 解析 由题意, 设BCx(x1)米,ACt(t0)米, 则ABAC0 5(t0 5)米, 在AB
12、C 中,由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos60,即(t05)2t2x2tx,化简并整 理得t(x1),即tx12,因x1,故tx122当 x20.25 x1 0.75 x1 0.75 x1 3 且仅当x1时取等号,此时t取最小值 2故选 D 3 2 3 二、填空题 6 设a1,d为实数, 首项为a1, 公差为d的等差数列an的前n项和为Sn, 满足S5S6150, 则d的取值范围是_ 答案 (,22,)22 解析 由S5S6150 得(5a110d)(6a115d)150, 即 2a9a1d10d210, 2 1 81d28(10d21)0,解得d2或d222 7若存在两个正实数x
13、,y,使得等式x3e ay30 成立,其中 e 为自然对数的底数, y x 则实数a的最小值为_ 答案 e 3 27 解析 由题意知a, 设 t(t0), 则令f(t), 则f(t), 当t3 时, ey x y x 3 y x et t3 ett 3 t4 f(t)0,当 00), BD DC AB AC 3 2 则BC5x,由 cosBDAcosADC0 知 0, 9x21836 182x 4x21816 122x 解得x1,所以BC5 10已知各项均不相等的等差数列an的前 5 项和S520,且a1,a3,a7成等比数列 (1)求数列an的通项公式; (2)若Tn为数列的前n项和, 且存
14、在nN N*, 使得Tnan10 成立, 求实数 1 anan1 的取值范围 解 (1)设数列an的公差为d,则 Error!Error!即Error!Error! 又因为d0,所以Error!Error!所以ann1 (2)因为, 1 anan1 1 n 1 n 2 1 n1 1 n2 所以Tn 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n1 1 n2 1 2 1 n2 n 2 n 2 因为存在nN N*,使得Tnan10 成立, 所以存在nN N*,使得(n2)0 成立, n 2 n 2 即存在nN N*,使成立 n 2 n 2 2 又, n 2 n 2 2 1 2n4 n4 且(当且仅当n2
15、时取等号), 1 2n4 n4 1 16 所以即实数的取值范围是, 1 16 1 16 11设函数f(x)ln x(a为常数) a x1 (1)若曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线与x轴平行,求实数a的值; (2)若函数f(x)在(e,)内有极值,求实数a的取值范围 解 (1)函数f(x)的定义域为(0,1)(1,), 由f(x)ln x得f(x) , 由于曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线 a x1 1 x a x 1 2 与x轴平行,所以f(2)0,即 0,所以a 1 2 a 212 1 2 (2)因为f(x) , 1 x a x 1 2 x22ax1 xx 1 2 若函数f(
16、x)在(e,)内有极值,则函数yf(x)在(e,)内有异号零点, 令(x)x2(2a)x1 设x2(2a)x1(x)(x),可知1, 不妨设,则(0,1),(1,), 若函数yf(x)在(e,)内有异号零点, 即y(x)在(e,)内有异号零点,所以e, 又(0)10,所以(e)e2(2a)e1e 2,所以实数a的取值范围是 e 2, 1 e 1 e 12(2018河南联考)在平面直角坐标系中,动点M到定点F(1,0)的距离与它到直 线x2 的距离之比是常数,记M的轨迹为T 2 2 (1)求轨迹T的方程; (2)过点F且不与x轴重合的直线m与轨迹T交于A,B两点, 线段AB的垂直平分线与x 轴交
17、于点P,在轨迹T上是否存在点Q,使得四边形APBQ为菱形?若存在,请求出直线m的 方程;若不存在,请说明理由 解 (1)设M(x,y),根据动点M到定点F(1,0)的距离与它到直线x2 的距离之 比是常数, 2 2 得,整理得y21, x 1 2y2 |x2| 2 2 x2 2 轨迹T的方程为y21 x2 2 (2)假设存在直线m,设直线m的方程为xky1, 由Error!Error!消去x,得(k22)y22ky10 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y2,x1x2k(y1y2)2, 2k k22 4 k22 线段AB的中点H的坐标为 ( 2 k22, k k22) PQAB, 直线PQ的方程为yk, k k22 (x 2 k22) 令y0,解得x,即P 1 k22 ( 1 k22,0) 设Q(x0,y0),P,Q关于点H对称, , (y00), 2 k22 1 2(x 0 1 k22) k k22 1 2 解得x0,y0,即Q 3 k22 2k k22 ( 3 k22, 2k k22) 点Q在椭圆上, 2222, ( 3 k22) ( 2k k22) 解得k2 1 2 于是,即 , 1 k2 2 1 k 4 2 直线m的方程为yx或yx 4 2 4 2 4 2 4 2
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