2020高考数学刷题首秧第七章平面解析几何考点测试49双曲线文含解析.pdf
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1、考点测试 49 双曲线考点测试 49 双曲线 一、基础小题 1已知双曲线C:1(a0,b0)的渐近线方程为yx,则双曲线C的离心 y2 a2 x2 b2 1 2 率为( ) A B C D 5 2 5 6 2 6 答案 B 解析 由题意可得 ,则离心率e ,故选 B a b 1 2 c a 1b a 2 5 2已知双曲线1 的实轴长为 10,则该双曲线的渐近线的斜率为( ) x2 m216 y2 4m3 A B C D 5 4 4 5 5 3 3 5 答案 D 解析 由m21652,解得m3(m3 舍去)所以a5,b3,从而 ,故 b a 3 5 选 D 3已知平面内两定点A(5,0),B(5
2、,0),动点M满足|MA|MB|6,则点M的轨 迹方程是( ) A1 B1(x4) x2 16 y2 9 x2 16 y2 9 C1 D1(x3) x2 9 y2 16 x2 9 y2 16 答案 D 解析 由双曲线的定义知, 点M的轨迹是双曲线的右支, 故排除 A, C; 又c5,a3, b2 c2a216焦点在x轴上,轨迹方程为1(x3)故选 D x2 9 y2 16 4双曲线y21 的焦点到渐近线的距离为( ) x2 m A B C1 D23 1 2 答案 C 解析 焦点F(,0)到渐近线xy0 的距离d1,故选 Cm1m |m1 0| 1 m2 5已知双曲线C:1(a0,b0)的焦距为
3、 10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C x2 a2 y2 b2 的方程为( ) A1 B1 x2 20 y2 5 x2 5 y2 20 C1 D1 x2 80 y2 20 x2 20 y2 80 答案 A 解析 1 的焦距为 10,c5 x2 a2 y2 b2 a2b2 又双曲线渐近线方程为yx,且P(2,1)在渐近线上,1,即a2b b a 2b a 由解得a2,b,则C的方程为1故选 A55 x2 20 y2 5 6已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C x2 a2 y2 b2 的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在双
4、曲线的右支上, 若|AN|BN|12,则a( ) A3 B4 C5 D6 答案 A 解析 如图, 设MN的中点为C, 则由对称性知F1,F2分别为线段AM,BM的中点, 所以|CF1| |AN|, |CF2| |BN| 由双曲线的定义, 知|CF1|CF2|2a (|AN|BN|)6, 所以a 1 2 1 2 1 2 3,故选 A 7已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率e2,且它的一个顶点到相应焦点的 x2 a2 y2 b2 距离为 1,则双曲线C的方程为_ 答案 x21 y2 3 解析 由题意得Error!Error!解得Error!Error!则b,故所求方程为x213 y2 3 8设F
5、1,F2分别为双曲线1 的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1 x2 16 y2 20 的距离等于 9,则点P到焦点F2的距离为_ 答案 17 解析 解法一 : 实轴长2a8, 半焦距c6, |PF1|PF2|8 |PF1|9, |PF2| 1 或|PF2|17又|PF2|的最小值为ca642,|PF2|17 解法二 : 由题知, 若P在右支上, 则|PF1|28109, P在左支上 |PF2|PF1| 2a8,|PF2|9817 二、高考小题 9(2018全国卷)双曲线1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 3 ( ) Ayx Byx23 Cyx Dyx
6、 2 2 3 2 答案 A 解析 e ,e21312, 因为该双曲线的渐近 c a 3 b2 a2 c2a2 a2 b a 2 线方程为yx,所以该双曲线的渐近线方程为yx,故选 A b a 2 10 (2018全国卷)已知双曲线C:y21,O为坐标原点,F为C的右焦点, 过F x2 3 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N若OMN为直角三角形,则|MN|( ) A B3 C2 D4 3 2 3 答案 B 解析 由题意分析知,FON30所以MON60,又因为OMN是直角三角形, 不妨取NMO90,则ONF30,于是FNOF2,FMOF1,所以|MN|3故选 B 1 2 11(2018全国卷
7、)设F1,F2是双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点,O是 x2 a2 y2 b2 坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P若|PF1|OP|,则C的离心率为6 ( ) A B2 C D532 答案 C 解析 由题可知|PF2|b,|OF2|c,|PO|a 在 RtPOF2中,cosPF2O , |PF2| |OF2| b c 在PF1F2中, cosPF2O , |PF2|2|F1F2|2|PF1|2 2|PF2|F1F2| b c c23a2,e故选 C b24c2 6a2 2b2c b c 3 12(2018天津高考)已知双曲线1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直 x2
8、 a2 y2 b2 于x轴的直线与双曲线交于A,B两点设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2,且d1d26,则双曲线的方程为( ) A1 B1 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 C1 D1 x2 3 y2 9 x2 9 y2 3 答案 C 解析 双曲线1(a0,b0)的离心率为2, e214, 3, 即b23a2, x2 a2 y2 b2 b2 a2 b2 a2 c2a2b24a2,由题意可设A(2a,3a),B(2a,3a),3,渐近线方程为y b2 a2 x,则点A与点B到直线xy0 的距离分别为d1a,d233 |23a3a| 2 2 33 2 a,又d1d26
9、,aa6,解得a,b2 |23a3a| 2 2 33 2 2 33 2 2 33 2 3 9双曲线的方程为1,故选 C x2 3 y2 9 13(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线1(a0,b0)的右 x2 a2 y2 b2 焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是_ 3 2 答案 2 解析 双曲线的一条渐近线方程为bxay0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为 c, |bc| b2a2 3 2 bc,b2c2,又b2c2a2,c24a2, 3 2 3 4 e 2 c a 14 (2017全国卷)已知双曲线C:1(a0,b0)的右顶点为A, 以A为圆心,b x
10、2 a2 y2 b2 为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点若MAN60,则C的离心 率为_ 答案 2 3 3 解析 如图, 由题意知点A(a, 0), 双曲线的一条渐近线l的方程为yx, 即bxay0, b a 点A到l的距离d ab a2b2 又MAN60,|MA|NA|b,MAN为等边三角形,d|MA|b,即 3 2 3 2 b,a23b2,e ab a2b2 3 2 c a a2b2 a2 23 3 三、模拟小题 15(2018河北黄冈质检)过双曲线1(a0,b0)的右焦点F作圆x2y2a2 x2 a2 y2 b2 的切线FM(切点为M),交y轴于点P,若M为线段FP的
11、中点,则双曲线的离心率为( ) A B C2 D235 答案 A 解析 连接OM 由题意知OMPF, 且|FM|PM|, |OP|OF|, OFP45, |OM| |OF|sin45,即ac,e 故选 A 2 2 c a 2 16 (2018河南洛阳尖子生联考)设F1,F2分别为双曲线1 的左、 右焦点, 过F1 x2 9 y2 16 引圆x2y29 的切线F1P交双曲线的右支于点P,T为切点,M为线段F1P的中点,O为坐 标原点,则|MO|MT|等于( ) A4 B3 C2 D1 答案 D 解析 连接PF2,OT, 则有|MO| |PF2| (|PF1|2a) (|PF1|6) |PF1|3
12、, |MT| 1 2 1 2 1 2 1 2 |PF1|F1T| |PF1| |PF1|4, 于是有|MO|MT| |PF1|3 |PF1| 1 2 1 2 c232 1 2 1 2 1 2 41,故选 D 17(2018哈尔滨调研)已知双曲线C的右焦点F与抛物线y28x的焦点相同,若以 点F为圆心,为半径的圆与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为( )2 Ax21 By21 y2 3 x2 3 C1 D1 y2 2 x2 2 x2 2 y2 2 答案 D 解析 设双曲线C的方程为1(a0,b0),而抛物线y28x的焦点为(2,0), x2 a2 y2 b2 即F(2,0),4a2b2又圆
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