2020高考数学刷题首秧第六章立体几何考点测试41空间几何体的表面积和体积文含解析.pdf
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1、考点测试 41 空间几何体的表面积和体积考点测试 41 空间几何体的表面积和体积 高考概览 高考中本考点常见题型为选择题、填空题,分值为5分,中等难度 考纲研读 球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式 一、基础小题 1若球的半径扩大为原来的 2 倍,则它的体积扩大为原来的( ) A2 倍 B4 倍 C8 倍 D16 倍 答案 C 解析 设原来球的半径为r,则现在球的半径为 2r,则V原 r3,V现 (2r)3, 4 3 4 3 故V现8V原故选 C 2一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是( ) A8 B6 C4 D 答案 C 解析 设正方体的棱长为a, 则a38, a2
2、 而此正方体的内切球直径为 2, S表 4r24 3如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为,一个内角为 60的菱形, 3 2 俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为( ) A2 B4 C8 D433 答案 D 解析 由三视图知,原几何体为两个四棱锥的组合体,其中四棱锥的底面边长为 1,斜 高为 1,所以这个几何体的表面积为S 1184 1 2 4一个直三棱柱的三视图如图所示,其中俯视图是正三角形,则此三棱柱的体积为 ( ) A B C2 D4 3 2 3 答案 B 解析 由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为,容易求得正三角形的边长为 2,3 所以底面正三角形面积为 2再由侧视图可知
3、直三棱柱的高为 1,所以此三棱 1 2 33 柱的体积为1故选 B33 5已知圆锥的表面积为a,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径是 ( ) A B C D a 2 3a 3 23a 3 23a 3 答案 C 解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意知,2rl,l2r,则圆锥 的表面积S表r2 (2r)2a,r2,2r 1 2 a 3 23a 3 6若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于( ) A10 cm3 B20 cm3 C30 cm3 D40 cm3 答案 B 解析 由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱ABCA1B1C1截去一个三棱锥B1ABC
4、, 则该几何体的体积为V 345 34520(cm3)故选 B 1 2 1 3 1 2 7某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( ) A4 B C D6 14 3 16 3 答案 B 解析 依题意,所求几何体是一个四棱台,其中上底面是边长为 1 的正方形、下底面是 边长为 2 的正方形,高是 2,因此其体积等于 (1222)2故选 B 1 3 1 4 14 3 8某几何体的三视图如图所示,图中三个正方形的边长均为 2,则该几何体的表面积 为( ) A24(1) B24(22)22 C24(1) D24(22)53 答案 B 解析 如图,由三视图可知,该几何体是棱长为 2 的正方体挖出两
5、个圆锥体所得由图 中知圆锥的半径为 1, 母线为, 该几何体的表面积为S6222122 212 1 2 24(22),故选 B22 9已知一个几何体的三视图如图所示,则其体积为( ) A10 B2 C2 D2 2 12 4 答案 D 解析 根据几何体的三视图还原其直观图如图所示, 显然可以看到该几何体是一个底面 长为 2, 宽为 1, 高为 1 的正棱柱与一个底面半径为 1, 高为 1 的 圆柱组合而成, 其体积为V 1 4 211 1212,故选 D 1 4 4 10我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题 : 在下雨时,用一个圆台形 的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为
6、一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆 中积水深九寸,则平地降雨量是_寸 (注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸) 答案 3 解析 由题意知, 圆台中截面圆的半径为十寸, 圆台内水的体积为V h(rrr 1 3 2 中2 下 中r下) 9(10262106)588(立方寸),降雨量为3(寸) 3 V 142 588 196 11 如图所示, 已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是_ 答案 2 6 解析 易知该几何体是正四棱锥连接BD,设正四棱锥PABCD,由PDPB1,BD , 则PDPB 设底面中心O, 则四棱锥
7、高PO, 则其体积是VSh 122 2 2 1 3 1 3 2 2 2 6 12 如图,在平面四边形ABCD中,已知ABAD,ABAD1,BCCD5,以直线AB为轴, 将四边形ABCD旋转一周,则所得旋转体的体积为_ 答案 12 解析 由题意,该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥,如图 1 所示: 如图 2,过点C作CEAB,连接BD在等腰直角三角形ABD中,BDAD2AB22 在BDC中,CD2BD2BC22BDBCcosDBC, 所 以 25 2 25 10cosDBC, 所 以 cosDBC, 所 以 sinDBC2 2 10 1cos2DBC 72 10 因为CBE180ABDDBC135
8、DBC,所以 sinCBEsin(135 DBC)cosDBCsinDBC 在 RtBCE中,CEBCsinCBE4,所以BE 2 2 2 2 4 5 3,AE4所以圆台上、下底面圆的面积分别为S上,S下16,圆台体BC2CE2 积V1 (S上S下)AE28,圆锥体积V2 16316,所以旋转体体 1 3 S上S下 1 3 积VV1V212 二、高考小题 13(2017全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体 的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) A90 B63 C42 D36 答案 B 解析 由三视图可知两个同样的几何体可以拼
9、成一个底面直径为 6,高为 14 的圆柱, 所以该几何体的体积V 321463故选 B 1 2 14 (2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位 : cm), 则该几何体的体积(单位 : cm3)是( ) A2 B4 C6 D8 答案 C 解析 由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上、下底边 的长分别为 1 cm,2 cm, 高为 2 cm, 直四棱柱的高为 2 cm 故直四棱柱的体积V12 2 226 cm3 15(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面 截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为(
10、) A12 B12 C8 D1022 答案 B 解析 根据题意,可得截面是边长为 2的正方形,结合圆柱的特征,可知该圆柱的2 底面为半径是的圆,且高为 2,所以其表面积为S2()22222222 12故选 B 16(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AC1与平面BB1C1C所成 的角为 30,则该长方体的体积为( ) A8 B6 C8 D8223 答案 C 解析 在长方体ABCDA1B1C1D1中,连接BC1,根据线面角的定义可知AC1B30, 因为AB2,tan30,所以BC12,从而求得CC12,所以该长 AB BC1 3BC2 1BC22 方体的体积为V22
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