专题09 不等式、推理与证明-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文) Word版含解析.pdf
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1、专题 09 不等式、推理与证明 1【2019 年高考全国 I 卷文数】古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度 之比是(0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此此外,最美人体的 51 2 51 2 头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 51 2 105 cm,头顶至脖子下端的长度为 26 cm,则其身高可能是 A165 cmB175 cm C185 cmD190 cm 【答案】B 【解析】方法一:如下图所示. 依题意可知: , 5151 , 22 ACAB CDBC 腿长为 105 cm 得,即,105C
2、D , 51 64.89 2 ACCD ,64.89 105169.89ADACCD 所以 AD169.89. 头顶至脖子下端长度为 26 cm, 即 ABb2ababab4ab ,解得,充分性成立;24abab4ab 当时,满足,但此时,必要性不成立,综上所述,“”是“”=1, =4ab4ab =54a+b4ab4ab 的充分不必要条件. 【名师点睛】易出现的错误有,一是基本不等式掌握不熟,导致判断失误;二是不能灵活的应用“赋值 法”,通过特取的值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果., a b 8【2019 年高考全国 II 卷文数】若变量 x,y 满足约束条件则 z=3xy 的最大值是_
3、. 2360 30 20 xy xy y , , , 【答案】9 【解析】画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示, 阴影部分表示的三角形 ABC 区域, 根据直线中的 表示纵截距的相反数, 当直线 30xyzz 过点时, 取最大值为 93zxy3,0C ( z 【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素 养采取图解法,利用数形结合思想解题搞不清楚线性目标函数的几何意义致误,从线性目 标函数对应直线的截距观察可行域,平移直线进行判断取最大值还是最小值 9 【2019 年高考全国 II 卷文数】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长
4、 方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1)半正多面体 是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 半正多面体体现了数学的对称美 图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共 有_个面,其棱长为_(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 【答案】26, 21 【解析】 【答案】26, 21 【解析】由图可知第一层(包括上底面)与第三层(包括下底面)各有 9 个面,计 18 个面,第二层共有 8 个面,所以该半正多面体共有个面18826 如图,设该半正多面体的棱长为,则,延长与交于点,延
5、长交正方体棱于 x ABBExCBFEGBC ,由半正多面体对称性可知,为等腰直角三角形,HBGE , 22 ,2( 21)1 22 BGGECHxGHxxx , 1 21 21 x 即该半正多面体棱长为 21 【名师点睛】本题立意新颖,空间想象能力要求高,物体位置还原是关键,遇到新题别慌乱,题目其实 很简单,稳中求胜是关键立体几何平面化,无论多难都不怕,强大空间想象能力,快速还原图形 10 【2019 年高考北京卷文数】若 x,y 满足 则的最小值为_,最大值为 2, 1, 4310, x y xy yx _ 【答案】;13 【解析】根据题中所给约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示. 设,
6、则,求出满足在可行域范围内 z 的最大值、最小值即可,zyx= +y x z 即在可行域内,当直线的纵截距最大时,z 有最大值,当直线的纵截距最小时,z 有最= +y x z= +y x z 小值. 由图可知,当直线过点 A 时,z 有最大值,= +y x z 联立, 2 4310 x xy 可得 ,即, 2 3 x y (2,3)A 所以; max 321z 当直线过点时,z 有最小值,= +y x z(2, 1)B 所以. min 1 23z 【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度 不大,注重了基础知识、基本技能的考查. 11 【2019 年
7、高考天津卷文数】设,则的最小值为_.0,0,24xyxy (1)(21)xy xy 【答案】 9 2 【解析】. (1)(21)22125 2 5xyxyyxxy xyxyxyxy 因为,0,0,24xyxy 所以,2422xyxy 即,当且仅当时取等号成立.22,02xyxy22xy 又因为 19 225 5 = 22xy , 所以的最小值为. (1)(21)xy xy 9 2 【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. 12 【2019 年高考北京卷文数】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃,价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、
8、80 元/盒、90 元/盒为增加销量,李明对这四种水果进行促销 : 一次购买水果的总价达到 120 元,顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款 的 80% 当 x=10 时,顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒,需要支付_元; 在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 x 的最大值为 _ 【答案】130 ;15. 【解析】 (1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.10x 608010130 (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, y 元时,李明得到的金额为,符合要求.120y 80%y 元时,有恒成立,即,即元.120y 80%7
9、0%yxy87 , 8 y yxy x min 15 8 y x 所以的最大值为. x15 【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力,以实际 生活为背景,创设问题情境,考查学生身边的数学,考查学生的数学建模素养. 13 (四川省棠湖中学 2019 届高三高考适应性考试数学(理)试题)已知集合,(1)(4)0Ax xx ,则 2 log2BxxAB AB2,4 1, CD0,4 2, 【答案】C 【解析】,(1)(4)01,4Ax xx 2 log20,4Bxx 故,故选 C. 0,4AB 【名师点睛】本题考查集合的交集,属于基础题,解题时注意对数不等式
10、的等价转化. 14 【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试(4 月)数学试题】若,满足约束条件,则 xy 2 220 1 yx xy y 的最大值为 zxy AB 3 5 - - 1 2 C5D6 【答案】C 【解析】变量,满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示: xy 目标函数是斜率等于 1、纵截距为的直线, zxy z 当直线经过可行域的点时,纵截距取得最小值,Az 则此时目标函数取得最大值, z 由可得, 1 220 y xy (4, 1)A 目标函数的最大值为:5 zxy 故选:C 【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用,考查计算能力以及数形结合思想的应用 15 【山东省实验中学等四
11、校 2019 届高三联合考试理科数学试题】已知实数,满足约束条件 xy ,则目标函数的最小值为 20 220 1 xy xy x 2 1 y z x AB 2 3 5 4 CD 4 3 1 2 【答案】B 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图: 目标函数的几何意义为动点到定点的斜率, 2 1 y z x ,M x y1,2D 当位于时,此时的斜率最小,此时M 1 1, 2 A DA min 1 2 5 2 1 14 z 故选 B 【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算,利用 z 的几何意义,通过 数形结合是解决本题的关键 16 【黑龙江省大庆市第一中学 2019
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