专题09 不等式、推理与证明-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理) Word版含解析.pdf
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1、专题 09 不等式、推理与证明 1【2019 年高考全国 II 卷理数】 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆, 我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的 通讯联系为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运 2 L 行点是平衡点, 位于地月连线的延长线上 设地球质量为 M, 月球质量为 M, 地月距离为 R, 2 L 2 L 点到月球的距离为 r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程 :.设 121 223 () () MMM Rr RrrR ,由于的值很小
2、,因此在近似计算中,则 r 的近似值为 r R 345 3 2 33 3 (1) AB 2 1 M R M 2 1 2 M R M CD 2 3 1 3M R M 2 3 1 3 M R M 【答案】D 【解析】由,得 r R rR 因为, 121 223 () () MMM Rr RrrR 所以, 121 22222 (1) (1) MMM RRR 即, 543 23 2 22 1 133 (1)3 (1)(1) M M 解得, 3 2 1 3 M M 所以 3 2 1 . 3 M rRR M 【名师点睛】由于本题题干较长,所以,易错点之一就是能否静心读题,正确理解题意;易错点之二是 复杂式
3、子的变形出错 2 【2019 年高考全国 II 卷理数】若 ab,则 Aln(ab)0B3a0Dab 【答案】C 【解析】取,满足,知 A 错,排除 A; 因为,知 B 错,2,1ababln()0ab9333 ab 排除 B; 取,满足,知 D 错,排除 D,因为幂函数是增函数,1,2ab ab12ab 3 yx ,所以,故选 Cab 33 ab 【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理 和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断 3 【2019 年高考北京卷理数】若 x,y 满足,且 y1,则 3x+y 的最大值为|1|xy A7B1 C5D7
4、 【答案】C 【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示. 1 , 11 y yxy 设,3,3zxy yzx 当直线经过点时,取最大值 5.故选 C 0: 3lyzx2, 1z 【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画移解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了 基础知识基本技能的考查. 4 【2019 年高考北京卷理数】在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮 度满足 m2m1=lg,其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k=1,2)已知太阳的星等是26.7,天狼星 5 22 1 E E 的星等是1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 A 1010.1B 10
5、.1 C lg10.1D 1010.1 【答案】A 【解析】两颗星的星等与亮度满足,令, 1 21 2 5 lg 2 E mm E 21 1.45,26.7mm . 10.1 11 21 22 22 lg( 1.4526.7)10.1,10 55 EE mm EE 故选:A 【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数 对数运算. 5 【2019 年高考天津卷理数】设变量满足约束条件,则目标函数的最大值 , x y 20, 20, 1, 1, xy xy x y 4zxy 为 A2B3 C5D6 【答案】D 【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中
6、的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线在轴上的截距,4yxz y 故目标函数在点处取得最大值.A 由,得, 20, 1 xy x ( 1,1)A 所以. max 4 ( 1) 15z 故选 C. 【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线, 其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距 离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围即:一画,二移,三求 6 【2019 年高考天津卷理数】设,则“”是“”的xR 2 50xx |1| 1x A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必
7、要条件 【答案】B 【解析】化简不等式,可知 推不出,05x11x 由能推出,11x05x 故“”是“”的必要不充分条件, 2 50xx |1| 1x 故选 B. 【名师点睛】本题考查充分必要条件,解题关键是化简不等式,由集合的关系来判断条件. 7 【2019 年高考浙江卷】若实数满足约束条件,则的最大值是 , x y 340 340 0 xy xy xy 32zxy A B 11 C 10D 12 【答案】C 【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。 因为,所以.32zxy 31 22 yxz 平移直线可知,当该直线经过点 A 时,z 取得最大值. 31 22 yxz 联立两直线
8、方程可得,解得. 340 340 xy xy 2 2 x y 即点 A 坐标为,(2,2)A 所以.故选 C. max 3 22 210z 【名师点睛】解答此类问题,要求作图要准确,观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程 度,也有可能在解方程组的过程中出错. 8 【2019 年高考浙江卷】若,则“”是 “”的0,0ab4ab4ab A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 【答案】A 【 解 析 】 当时 ,当 且 仅 当时 取 等 号 , 则 当时 , 有0, 0ab2ababab4ab ,解得,充分性成立;24abab4ab 当时,满足,
9、但此时,必要性不成立,综上所述,“”是“”=1, =4ab4ab =54a+b4ab4ab 的充分不必要条件. 【名师点睛】易出现的错误有,一是基本不等式掌握不熟,导致判断失误;二是不能灵活的应用“赋值 法”,通过特取的值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果., a b 9 【2019 年高考全国 II 卷理数】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1)半正多面体 是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 半正多面体体现了数学的对称美 图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所有顶点都
10、在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共 有_个面,其棱长为_(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 【答案】26, 21 【解析】由图可知第一层与第三层各有 9 个面,计 18 个面,第二层共有 8 个面,所以该半正多面体共有 个面18826 如图, 设该半正多面体的棱长为, 则, 延长与交于点, 延长交正方体棱于 x ABBExBCFEGBC ,由半正多面体对称性可知,为等腰直角三角形,HBGE , 22 ,2( 21)1 22 BGGECHxGHxxx , 1 21 21 x 即该半正多面体棱长为 21 【名师点睛】本题立意新颖,空间想象能力要求高,物体位置还原是关
11、键,遇到新题别慌乱,题目其实 很简单,稳中求胜是关键立体几何平面化,无论多难都不怕,强大空间想象能力,快速还原图形 10 【2019 年高考北京卷理数】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃,价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量,李明对这四种水果进行促销 : 一次购买水果的总价达到 120 元,顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款 的 80% 当 x=10 时,顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒,需要支付_元; 在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 x 的最大值
12、为 _ 【答案】130 ;15. 【解析】 (1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.10x 608010130 (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, y 元时,李明得到的金额为,符合要求.120y 80%y 元时,有恒成立,即,即元.120y 80%70%yxy87 , 8 y yxy x min 15 8 y x 所以的最大值为. x15 【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力,以实际 生活为背景,创设问题情境,考查学生身边的数学,考查学生的数学建模素养. 11 【2019 年高考天津卷理数】设,则的最小值为_0,0,25xyxy
13、(1)(21)xy xy 【答案】4 3 【解析】方法一:. (1)(21)221266 2 xyxyyxxy xy xyxyxyxy 因为,0,0,25xyxy 所以,2522xyxy 即,当且仅当时取等号成立. 525 2,0 28 xyxy 5 2 2 xy 又因为,当且仅当,即时取等号,结合 66 22 24 3xyxy xyxy 6 2 xy xy =3xy 可知,可以取到 3,故的最小值为. 25 8 xy xy (1)(21)xy xy 4 3 方法二:0,0,25,xyxy .0,xy (1)(21)221266 22 12=4 3 xyxyyxxy xy xyxyxyxy 当
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