专题10 概率与统计-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理) Word版含解析.pdf
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1、专题 10 概率与统计 1 【2019 年高考全国卷理数】 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称 为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了 100 位学生,其中 阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位,阅读过红楼梦的学生共有 80 位,阅读过西游记 且阅读过红楼梦的学生共有 60 位,则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计 值为 A0.5B0.6 C0.7 D0.8 【答案】C 【解析】由题意得,阅读过西游记的学生人数为 90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为 70100=0.7故选 C 【名师点睛】本题考查抽样数据
2、的统计,渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法,利用转化与化 归思想解题 2 【2019 年高考全国卷理数】演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时, 从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分, 得到 7 个有效评分 7 个有效评分与 9 个原始评分相比, 不变的数字特征是 A中位数B平均数 C方差 D极差 【答案】A 【解析】设 9 位评委评分按从小到大排列为 123489 xxxxxx 则原始中位数为,去掉最低分,最高分后剩余,中位数仍为,A 正确 ; 5 x 1 x 9 x 2348 xxxx 5 x 原始平均数,后来平均数,平均数 123489
3、 1 () 9 xxxxxxx 2348 1 () 7 xxxxx 受极端值影响较大,与不一定相同,B 不正确;x x , 由 2222 11 1 ()()() 9 q Sxxxxxx 2222 238 1 ()()() 7 sxxxxxx 易知,C 不正确; 原极差,后来极差,显然极差变小,D 不正确故选 A 91 xx 82 xx 3 【2019 年高考浙江卷】设 0a1,则随机变量 X 的分布列是 X0 a 1 P 1 3 1 3 1 3 则当 a 在(0,1)内增大时, A增大 B减小()D X()D X C先增大后减小 D先减小后增大()D X()D X 【答案】D 【分析】研究方差
4、随变化的增大或减小规律,常用方法就是将方差用参数表示,应用函数知识求解. aa 本题根据方差与期望的关系,将方差表示为的二次函数,二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合 a 性,注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查 【解析】方法 1:由分布列得, 1 () 3 a E X 则, 2222 111111211 ()(0)()(1)() 333333926 aaa D Xaa 则当在内增大时,先减小后增大故选 D a(0,1)()D X 方法 2:则, 222 22 1(1)222213 ()()()0() 3399924 aaaa D XE XE Xa 则当在内增大时,先减小后增大故选
5、D a(0,1)()D X 【名师点睛】易出现的错误有,一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟,无从着手;二是计 算能力差,不能正确得到二次函数表达式 4 【2019 年高考江苏卷】已知一组数据 6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是_ 【答案】 5 3 【解析】由题意,该组数据的平均数为, 67889 10 8 6 所以该组数据的方差是 222222 15 (68)(78)(88)(88)(98)(108) 63 5 【2019 年高考全国卷理数】我国高铁发展迅速,技术先进经统计,在经停某站的高铁列车中,有 10 个车次的正点率为 0.97,有 20 个车次的正点率为 0.98,
6、有 10 个车次的正点率为 0.99,则经停该站高铁 列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 【答案】0.98 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计,采取估算法,利用概率思想解题 【解析】由题意得,经停该高铁站的列车正点数约为,其中高铁10 0.9720 0.98 10 0.9939.2 个数为,所以该站所有高铁平均正点率约为1020 1040 39.2 0.98 40 【名师点睛】本题考查了概率统计,渗透了数据处理和数学运算素养,侧重统计数据的概率估算,难度 不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误,根据分类抽样的统计数据,估算出正点列车数量与列车 总数的比值 6 【2019 年高考全国卷
7、理数】甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该 队获胜,决赛结束) 根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” 设甲队主场取 胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 41 获胜的概率是 _ 【答案】0.18 【分析】本题应注意分情况讨论,即前五场甲队获胜的两种情况,应用独立事件的概率的计算公式求 解题目有一定的难度,注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查 【解析】前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以获胜的概率是前4:1 3 0.60.5 0.5 20.108, 四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以获
8、胜的概率是综上所述,甲4:1 22 0.4 0.60.520.072, 队以获胜的概率是4:10.1080.0720.18.q 【名师点睛】由于本题题干较长,所以,易错点之一就是能否静心读题,正确理解题意;易错点之二是 思维的全面性是否具备,要考虑甲队以获胜的两种情况;易错点之三是是否能够准确计算4:1 7 【2019 年高考全国卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将 200 只 小鼠随机分成 A,B 两组,每组 100 只,其中 A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液,每 只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小
9、鼠体内离 子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图: 记 C 为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5” ,根据直方图得到 P(C)的估计值为 0.70 (1)求乙离子残留百分比直方图中 a,b 的值; (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 【答案】 (1)a=0.35,b=0.10;(2)甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为 4.05,6.00 【解析】 (1)由已知得 0.70=a+0.20+0.15,故 a=0.35 b=10.050.150.70=0.10 (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.15+30.20+4
10、0.30+50.20+60.10+70.05=4.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00 8 【2019 年高考全国卷理数】11 分制乒乓球比赛,每赢一球得 1 分,当某局打成 10:10 平后,每球交换 发球权,先多得 2 分的一方获胜,该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分 的概率为 0.5,乙发球时甲得分的概率为 0.4,各球的结果相互独立在某局双方 10:10 平后,甲先发球, 两人又打了 X 个球该局比赛结束 (1)求 P(X=2) ; (2)求事件“X=4 且甲获胜”的概率 【答
11、案】 (1)0.5;(2)0.1 【解析】 (1)X=2就是1010平后,两人又打了2个球该局比赛结束, 则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分 因此P(X=2)=0.50.4+(10.5)(10.4)=0.5 (2)X=4且甲获胜,就是1010平后,两人又打了4个球该局比赛结束, 且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分 因此所求概率为0.5(10.4)+(10.5)0.40.50.4=0.1 9 【2019 年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间,每天 7:30 之前到校的概率均为假定甲、 2 3 乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立 (1)
12、用表示甲同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;XX (2)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在 7:30 之前到校的天数比乙同学在 7:30 之前到校的M 天数恰好多 2” ,求事件发生的概率M 【答案】 (1)分布列见解析,;(2)()2E X 20 243 【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公 式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分 【解析】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天 7:30 之前到校的概率均为, 2 3 故,从而 2 (3, ) 3 X
13、B 3 3 21 ()C ( ) ( ),0,1,2,3 33 kkk P Xkk 所以,随机变量的分布列为X X0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量的数学期望X 2 ()32 3 E X (2)设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为,Y 则,且 2 (3, ) 3 YB3,12,0MXYXY 由题意知事件与互斥,3,1XY2,0XY 且事件与,事件与均相互独立,3X 1Y 2X 0Y 从而由(1)知()(3,12,0)P MPXYXY (3,1)(2,0)P XYP XY (3) (1)(2) (0)P XP YP XP Y 824120 27992724
14、3 10 【2019 年高考北京卷理数】改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变近年来,移动支付已成为 主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽 取了 100 人,发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人,样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生 的支付金额分布情况如下: 支付金额 (元) 支付方式 (0,1000(1000,2000大于 2000 仅使用 A18 人9 人3 人 仅使用 B10 人14 人1 人 (1)从全校学生中随机抽取 1 人,估计该学生上个月 A,B 两种支付方式都使用的概率; (2) 从样本仅使用A和仅使
15、用B的学生中各随机抽取1人, 以X表示这2人中上个月支付金额大于1000 元的人数,求 X 的分布列和数学期望; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中,随机抽查 3 人, 发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果,能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金 额大于 2000 元的人数有变化?说明理由 【答案】 (1)0.4;(2)分布列见解析,E(X)=1;(3)见解析 【解析】 (1) 由题意知, 样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人, 仅使用B的学生有10+14+1=25人, A, B 两种支付方式都不使用的学生有5人 故样本中A
16、,B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人 所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为 40 0.4 100 (2)X的所有可能值为0,1,2 记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D为 “从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元” 由题设知,事件C,D相互独立,且 9314 1 ( )0.4,()0.6 3025 P CP D 所以,(2)()( ) ()0.24P XP CDP C P D (1)()P XP CDCD ( ) ()( ) ()P C P D
17、P C P D 0.4 (1 0.6)(1 0.4) 0.6 ,0.52 (0)()( ) ()0.24P XP CDP C P D 所以X的分布列为 X012 P0.240.520.24 故X的数学期望()0 0.24 1 0.522 0.241E X (3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元” 假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化, 则由上个月的样本数据得 3 30 11 ( ) C4060 P E 答案示例1:可以认为有变化 理由如下: P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生 一旦发生,就有理由认为本月
18、的支付金额大于2000元的人数发生了变化,所以可以认为有变化 答案示例2:无法确定有没有变化理由如下: 事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生, 但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化 11 【2019 年高考全国卷理数】为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为 此进行动物试验试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠,随机选 一只施以甲药,另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验当其中一种药治愈的 白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时, 就停止试验, 并认为治愈只数多的药更有效 为了方便描述问题, 约定:对于每轮试验,若施
19、以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得分;1 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则1 两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ,一轮试验中甲药的得分记为 X (1)求的分布列;X (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分,表示“甲药的累计得分为 时,最终认(0,1,8) i p i i 为甲药比乙药更有效”的概率,则,其中 0 0p 8 1p 11iiii papbpcp (1,2,7)i ,假设,(1)aP X (0)bP X(1)cP X0.50.8 (i)证明:为等比数列; 1 ii pp (0
20、,1,2,7)i (ii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性 4 p 4 p 【答案】 (1)分布列见解析;(2)(i)证明见解析,(ii) ,解释见解析 4 5 1 2 7 p 【解析】X 的所有可能取值为1,0,1 ,(1)(1)P X ,(0)(1)(1)P X ,(1)(1)P X 所以的分布列为X X101 P (1) (1)(1)(1) (2) (i)由(1)得0.4,0.5,0.1abc 因此,故, 11 0.40.5 0.1 iiii pppp 11 0.1()0.4() iiii pppp 即 11 4() iiii pppp 又因为, 101 0ppp 所以为公比为 4
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