专题14 坐标系与参数方程-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理) Word版含解析.pdf
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1、专题 14 坐标系与参数方程 1【2019 年高考北京卷理数】已知直线 l 的参数方程为(t 为参数),则点(1,0)到直线 l 1 3 , 24 xt yt 的距离是 AB CD 1 5 2 5 4 5 6 5 【答案】D 【解析】 由题意, 可将直线 化为普通方程 :, 即, 即,l 12 34 xy 41320xy4320xy 所以点(1,0)到直线 的距离,故选 Dl 22 |402|6 5 43 d 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识、 基本运算能力的考查 2【2019 年高考全国卷理数】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参
2、数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t , (t 为参 数)以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2cos3 sin110 (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值 【答案】(1); 的直角坐标方程为;(2) 2 2 1(1) 4 y xx l23110xy7 【解析】(1)因为,且,所以C的直角坐标方程为 2 2 1 11 1 t t 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t 2 2 1(1) 4 y xx 的直角坐标方程为l23110xy (2)由(1)可设
3、C的参数方程为(为参数,) cos , 2sin x y C上的点到 的距离为l 4cos11 |2cos2 3sin11|3 77 当时,取得最小值7,故C上的点到 距离的最小值为 2 3 4cos11 3 l7 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最 值问题求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求 解问题 3 【2019 年高考全国卷理数】 在极坐标系中, O 为极点, 点在曲线上, 000 (,)(0)M :4sinC 直线 l 过点且与垂直,垂足为 P(4,0)AOM (1)当时,求及 l 的
4、极坐标方程; 0= 3 0 (2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程 【答案】(1),l 的极坐标方程为; 0 2 3cos2 3 (2)4cos , 4 2 【解析】(1)因为在C上,当时, 00 ,M 0 3 0 4sin2 3 3 由已知得| |cos2 3 OPOA 设为l上除P的任意一点在中,( , )Q RtOPQcos| 2 3 OP 经检验,点在曲线上(2,) 3 P cos2 3 所以,l的极坐标方程为cos2 3 (2)设,在中, 即( , )P RtOAP| |cos4cos ,OPOA 4cos 因为P在线段OM上,且,故的取值
5、范围是APOM, 4 2 所以,P点轨迹的极坐标方程为4cos , 4 2 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型 4【2019 年高考全国卷理数】如图,在极坐标系 Ox 中,(2,0)A( 2,) 4 B ( 2,) 4 C (2, )D 弧,所在圆的圆心分别是, 曲线是弧, 曲线是弧, AB BC CD (1,0)(1,) 2 (1, ) 1 M AB2 M BC 曲线是弧 3 M CD (1)分别写出,的极坐标方程; 1 M 2 M 3 M (2)曲线由,构成,若点在 M 上,且,求 P 的极坐标M 1 M 2 M 3 M P|3OP 【答案】
6、(1)的极坐标方程为,的极坐标方程为 1 M 2cos0 4 2 M ,的极坐标方程为 3 2sin 44 3 M 3 2cos 4 (2)或或或 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 【解析】(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为, ,AB BC CD2cos2sin 2cos 所以的极坐标方程为,的极坐标方程为, 1 M 2cos0 4 2 M 3 2sin 44 的极坐标方程为 3 M 3 2cos 4 (2)设,由题设及(1)知( , )P 若,则,解得; 0 4 2cos3 6 若,则,解得或; 3 44 2sin3 3 2 3 若,则,解得 3 4 2cos3 5
7、6 综上,P的极坐标为或或或 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程,思考量不高,运算量不大,属于中档题 5【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中,已知两点,直线l的方程为3,2, 42 AB sin3 4 (1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离 【答案】(1);(2)25 【解析】(1)设极点为O在OAB中,A(3,),B(,), 4 2 2 由余弦定理,得AB= 22 3( 2)2 32cos()5 24 (2)因为直线l的方程为,sin()3 4 则直线l过点,倾斜角为(3 2,) 2 3 4 又,所以点B到直线l
8、的距离为( 2,) 2 B 3 (3 22) sin()2 42 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力 6【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系中,已知曲线的参xOy 1 C 数方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲 510cos () 10sin x y 为参数Ox 线的极坐标方程为 2 C4cos (1)求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程; 1 C 2 C (2)若直线 的极坐标方程为,直线 与轴的交点为,与曲线相交于lsin()2 2 4 l y M 1 C,A B 两点,求的值MAMB 【答案】(
9、1);(2) 5 cos 2 9 2 【解析】(1)曲线的普通方程为:, 1 C 22 (5)10xy 曲线的普通方程为:,即, 2 C 22 4xyx 22 (2)4xy 由两圆心的距离,所以两圆相交,3( 102, 102)d 所以两方程相减可得交线为,即6215x 5 2 x 所以直线的极坐标方程为 5 cos 2 (2)直线 的直角坐标方程:,则与轴的交点为,l4xy y (0,4)M 直线 的参数方程为,带入曲线得l 2 2 2 4 2 xt yt 1 C 22 (5)10xy 2 9 2310tt 设两点的参数为,,A B 1 t 2 t 所以,所以,同号 12 9 2tt 1 2
10、 31t t 1 t 2 t 所以 1212 9 2MAMBtttt 【名师点睛】本题考查了极坐标,参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度,是常见考题 7【山东省郓城一中等学校 2019 届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数 方程为( 为参数), 在以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 点 M 3cos sin x y 的极坐标为,直线 l 的极坐标方程为 3 2 2, 4 sin2 20 4 (1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)若 N 是曲线 C 上的动点,P 为线段 MN 的中点,求点 P 到直线
11、 l 的距离的最大值 【答案】(1),;(2)40xy 2 2 1 3 x y 7 2 2 【解析】(1)因为直线 l 的极坐标方程为, sin2 20 4 即 sincos40由 xcos,ysin, 可得直线 l 的直角坐标方程为 xy40 将曲线 C 的参数方程,消去参数 a, 3cos sin x y 得曲线 C 的普通方程为 2 2 1 3 x y (2)设 N(,sin),0,2)3cos 点 M 的极坐标(,),化为直角坐标为(2,2) 2 2 3 4 则 31 cos1,sin1 22 P 所以点 P 到直线 l 的距离, 31 cossin6 sin6 22 37 2 222
12、 d 所以当时,点 M 到直线 l 的距离的最大值为 5 6 7 2 2 【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化,考查三角函数的图像和性质,考 查点到直线的距离的最值的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 8【河南省周口市 20182019 学年度高三年级(上)期末调研考试数学】在直角坐标系中,直线 的xOyl 参数方程为( 为参数), 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 2 4, 2 2 3 2 xt yt tC 的极坐标方程为 22 3sin12() (1)求直线 的普通方程与曲线的直角坐标方程;lC (2)若直线 与曲线交
13、于两点,且设定点,求的值lCAB,21P ( , ) PBPA PAPB 【答案】(1) 普通方程为,C 直角坐标方程为;(2)l10xy 22 1 43 xy 86 7 【解析】(1)由直线 的参数方程消去 ,得普通方程为 l t10xy 等价于, 22 3sin12() 222 3sin12 将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 222 sinxyy,C 222 312xyy() 即 22 1 43 xy (2)点在直线上,所以直线 的参数方程可以写为为参数),21P ( , )10xy l 2 2 2 2 1 2 xt t yt , ( 将上式代入,得 22 1 43 xy 2 720
14、280tt 设对应的参数分别为,则,AB, 12 tt, 121 2 20 28 77 ttt t , 所以 22 |PAPB PBPA PAPBPA PB 2 2PAPBPA PB PA PB () 2 1212 12 2ttt t t t () 2 1212 12 |2ttt t t t 2 20 28 2 86 77 8 7 7 () 【名师点睛】本题考查了直线的参数方程,考查了简单曲线的极坐标方程,解答此题的关键是熟练掌握 直线参数方程中参数的几何意义 9【河南省郑州市第一中学 2019 届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的 正半轴为极轴 已知点 P
15、的直角坐标为,点 M 的极坐标为若直线 l 过点 P,且倾斜角为15(, ) 4 2 ( ,) ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径 3 (1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系 【答案】(1)( 为参数),;(2)直线 与圆相离 1 1 2 3 5 2 xt yt t8sinlC 【解析】(1)直线 的参数方程( 为参数), l 1 11 cos 23 3 5sin 5 3 2 xtxt yt yt t M 点的直角坐标为(0,4),圆 C 的半径为 4, 圆 C 的方程为,将代入, 22 416xy() cos sin x y 得圆
16、C 的极坐标方程为,即; 222 cos( sin4)168sin (2)直线 的普通方程为,l3530xy 圆心 M 到 的距离为,l 453 93 4 22 d 直线 与圆 C 相离l 【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化,以及运用,属于基础题 10【全国 I 卷 2019 届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系中,直线 的参数方程为xOyl ( 为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆的极坐 2 2 2 2 xmt yt tOxC 标方程为,其左焦点在直线 上 2222 cos3sin48Fl (1)若直线 与椭圆交于两点,求的值;lCAB,FAFB (2
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