黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练五十四10.8抛物线理含解析新人教A版.pdf
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1、核心素养提升练五十四 核心素养提升练五十四 抛 物 线抛 物 线 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知抛物线的方程为标准方程,焦点在 x 轴上,其上点 P(-3,m)到焦点的距离为 5,则抛物线 方程为( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x 【解析】选 B.设抛物线方程为 y2=-2px(p0),则-(-3)=5,即 p=4,所以抛物线方程为 y2=-8x. 【变式备选】(2018玉溪模拟)若抛物线 y2=2px(p0)上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则 抛物线的标准方程为 ( ) A.y2=4x B.y
2、2=6x C.y2=8x D.y2=10x 【解析】 选 C.因为抛物线 y2=2px,所以准线为 x=-.因为点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,所以 2+=4,即 p=4,所以抛物线的标准方程为 y2=8x. 2.已知抛物线的方程为 y2=2px(p0),过抛物线上一点 M(p,p)和抛物线的焦点 F 作直线l交抛物线于另一点 N,则|NF|FM|=( ) A.1B.1 C.12D.13 【解析】选 C.由已知直线l的方程为 y=2x-,联立得 N,- p ,所以|NF|=+=p,|MF|=p+=p,所以|NF|FM|=12. 3.已知双曲线C1:-=1(a0,b0)的离心率为2.若抛
3、物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2的方程为 ( ) A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y 【解析】选 D.因为- =1 的离心率为 2,所以=2,即=4,所以=. x2=2py 的焦点坐标为0, -=1 的渐近线方程为 y=x,即 y=x.由已知 =2,即 p=8.所以 C2的方程为 x2=16y. 4.若点 A 的坐标为(3,2),F 是抛物线 y2=2x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得 最小值的 M 的坐标为( ) A.(0,0) B.,1 C.(1,) D.(2,2) 【解析】选 D.
4、过 M 点作准线的垂线,垂足是 N,则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当 A,M, N 三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时 M(2,2). 5.已知点 M 是抛物线 C:y2=2px(p0)上一点,F 为 C 的焦点,MF 的中点坐标是(2,2),则 p 的值为 ( ) A.1B.2C.3D.4 【解析】 选 D.F,0 ,那么 M 4-,4 在抛物线上,即 16=2p 4-,即 p2-8p+16=0,解得 p=4. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2018西安模拟)如图,过抛物线 y=x2的焦点 F 的直线l与抛物线和圆 x2+(y-1)2=1 交于 A
5、,B,C,D 四点,则=_. 【解析】不妨设直线 AB 的方程为 y=1,联立解得 x=2,所以 A(-2,1),D(2,1),因 为 B(-1,1),C(1,1),所以=(1,0),=(-1,0),所以=-1. 答案:-1 7.(2018正定模拟)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点,则=_. 【解析】|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,所以 C,-a ,F+b,b , 又抛物线 y2=2px(p0)经过 C,F 两点,所以 即 所以 b2=a2+2ab, 2-2 -1=0, 又1,所以=1+. 答案:1+ 8.已知正A
6、OB(O 为坐标原点)的顶点 A,B 在抛物线 y2=3x 上,则AOB 的边长是_. 【解析】由抛物线的对称性得AOx=30, 所以直线 OA 的方程为 y=x,联立,解得 A(9,3).所以|AO|= =6. 答案:6 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知点 A(2,1)在抛物线 E:x2=ay 上,直线l1:y=kx+1(kR,且 k0)与抛物线 E 相交于 B,C 两 点,直线 AB,AC 分别交直线l2:y=-1 于点 S,T. (1)求 a 的值. (2)若|ST|=2,求直线l1的方程. 【解析】(1)因为点 A(2,1)在抛物线 E:x2=ay 上, 所以 a
7、=4. (2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x2=4y. 设点 B,C 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 依题意得=4y1,=4y2, 由消去 y,得 x2-4kx-4=0, 解得 x1,2=2k2. 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 直线 AB 的斜率 kAB=, 故直线 AB 的方程为 y-1=(x-2). 令 y=-1,得 x=2-(由题意知 x1+20), 所以点 S 的坐标为. 同理可得点 T 的坐标为. 所以|ST|= = = =, 因为|ST|=2, 所以|x1-x2|=2|k|. 由|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2,得 20k2=16k2+1
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