黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练五十六10.10圆锥曲线中的定值定点与存在性问题理含解析新人教A版.pdf
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1、核心素养提升练五十六核心素养提升练五十六 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2018宁波模拟)已知焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,则实数m等于( ) A.3 B. C. 5 D. 【解析】选 D.由已知,a=,b=2,c=,离心率 e=,得 m=. 2.已知双曲线-=1 的焦点与椭圆+=1 的焦点相同,则双曲线的离心率为 ( ) A.B.C. D.2 【解析】 选 B.由已知,椭圆焦点为(2,0),所以 c=2,解得 a=2,所以离心率 e= . 3.以抛物线y2=8x上的任意一
2、点为圆心作圆与直线x+2=0相切,这些圆必过一定点,则这一定点 的坐标是( ) A.(0,2)B.(2,0) C.(4,0)D.(0,4) 【解析】选 B.因为抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,所以由题可知动圆的圆心在 y2=8x 上,且 恒与抛物线的准线相切,由定义可知,动圆恒过抛物线的焦点(2,0). 4.(2018台州模拟)已知圆 C:x2+y2=4,点 P 为直线 x+2y-9=0 上一动点,过点 P 向圆 C 引两条切 线 PA,PB,A,B 为切点,则直线 AB 经过定点( ) A.B. C.(2,0)D.(9,0) 【解析】 选 A.设 P(9-2m,m),过点 P 向
3、圆 C 引两条切线 PA,PB,A,B 为切点,则 OAPA,OBPB,AB 是以OP为直径的圆D与圆C的公共弦,得圆D的方程为+ =,又圆 C 方程为 x2+y2=4,两式相减得公共弦 AB 所在直线方程为 m(2x-y)+(4-9x)=0,令 得 所以直线 AB 经过定点. 5.(2018洛阳模拟)在直角坐标平面内,过定点 P 的直线l:ax+y-1=0 与过定点 Q 的直线 m:x- ay+3=0 相交于点 M,则|MP|2+|MQ|2的值为( ) A.B. C.5D.10 【解析】选 D.由已知,P(0,1),Q(-3,0),且lm, 所以 M 在以 PQ 为直径的圆上. 因为|PQ|
4、=, 所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2018滁州模拟)已知抛物线 C: y2=2px(p0)的焦点为 F,准线l: x=-,点 M 在抛物线 C 上, 点 A 在准线l上,若 MAl,直线 AF 的倾斜角为,则|MF|= _. 【解析】如图,设准线与 x 轴交点为 B, 由于 AF 的倾斜角为, 所以FAM=, 又=, 所以= =2,又由已知 p=2=,即=, 所以=5. 答案:5 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O1:x2+y2=9,圆 O2:x2+(y-6)2=16,在圆 O2内存在一定点 M, 过 M 的直线l
5、被圆 O1,圆 O2截得的弦分别为 AB,CD,且=,则定点 M 的坐标为_. 【解析】 因为=,过两圆的圆心的直线截两圆弦长比是=,所以点 M 在两圆心连线上, 因 为 圆 心 连 线 方 程 x=0,可 设 M(0,y0),直 线l的 方 程 为 y=kx+y0,因 为=,所 以 =,解得 y0=或-18(此时点 M 在圆 O2外,舍去),所以定点 M . 答案: 8.过点 M(0,1)且斜率为 1 的直线l与双曲线 C:-=1(a0,b0)的两渐近线交于点 A,B, 且 =2,则双曲线渐近线的方程为_. 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由=2,得 x2=2x1, 由已知
6、,直线l的方程 y=x+1,-=1(a0,b0)的渐近线方程为 y=x, 联立直线l的方程和渐近线方程,解得 x1=-,x2=,所以-=,即 a=3b,所以渐近线方程为 y=x. 答案:y=x 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2018盘锦模拟)如图,已知点 A(1,)是离心率为的椭圆 C:+=1 (ab0)上的 一点,斜率为的直线交椭圆 C 于 B,D 两点,且 A,B,D 三点互不重合. (1)求椭圆 C 的方程. (2)求证:直线 AB,AD 的斜率之和为定值. 【解析】 (1)由题意,可得 e=,将 A(1,)代入椭圆 C 的方程,得+=1,又 a2=b2+c2, 解
7、得 a=2,b=c=,所以椭圆 C 的方程为+=1. (2)设直线 BD 的方程为 y=x+m,因为 A,B,D 三点不重合,所以 m0,设 D(x1,y1),B(x2,y2). 由得 4x2+2mx+m2-4=0, 由 =-8m2+640,得-2b0)的离心率为,点,为椭圆上的一点. (1)求椭圆 E 的标准方程. (2)若斜率为 k 的直线l过点 A(0,1),且与椭圆 E 交于 C,D 两点,B 为椭圆 E 的下顶点,求证:对 于任意的 k,直线 BC,BD 的斜率之积为定值. 【解析】(1)因为 e=, 所以 c=a,a2=b2+. 又椭圆过点(,),所以+=1. 由,解得 a2=6,
8、b2=4, 所以椭圆 E 的标准方程为+=1. (2)设直线l:y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),联立得(3k2+2)x2+6kx-9=0. 所以 x1+x2=-,x1x2=-, 易知 B(0,-2), 所以 kBCkBD= =k2+=k2+3k- (3k2+2)=-2, 所以对于任意的 k,直线 BC,BD 的斜率之积为定值. 10.(2019合肥模拟)如图,在平面直角坐标系中,点 F(-1,0),过直线lx=-2 右侧的动点 P 作 PAl于点 A,APF 的平分线交 x 轴于点 B,|PA|=|BF|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程. (2)过点 F 的直线 q
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