2002年全国高中数学联赛试题及答案.pdf
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1、二二年全国高中数学联合竞赛二二年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准 说明:说明: 1 评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题只设 评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题只设 6 分的分的 0 分两档,填空题只设分两档,填空题只设 9 分和分和 0 分两档,其它各 题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再啬其他中间档次。 分两档,其它各 题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再啬其他中间档次。 2 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准适当档次 评分,可以 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思
2、路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准适当档次 评分,可以 5 分为一个档次,不要再增加其它中间档次。分为一个档次,不要再增加其它中间档次。 一、 选择题(本题满分一、 选择题(本题满分 36 分,每小题分,每小题 6 分)分) 1、 函数 f(x)=的单调递增区间是)32(log 2 2 1 xx (A) (-,-1) (B) (-,1) (C) (1,+) (D) (3,+) 解:由 x2-2x-30x3,令 f(x)=, u= x2-2x-3,故选 Au 2 1 log 2、 若实数 x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142,则 x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1
3、(C) (D) 32 解:B 3、 函数 f(x)= 221 xx x (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解:A 4、 直线椭圆相交于 A,B 两点,该圆上点 P,使得PAB 面积等于 3,这样的点 P1 34 yx 1 916 22 yx 共有 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 解:设 P1(4cos,3sin) (00,所以只须求 xy 的最小值。 令 xy=u 代入 x24y2=4 中有 3y22uy+(4u2)=0 yR 03 u 当时,u=,故|x|y|的最小值是
4、3 3 , 3 3 4 yx33 12、 使不等式 sin2x+acosx+a21+cosx 对一切 xR 恒成立的负数 a 的取值范围是 。 解:sin2x+acosx+a21+cosx 4 ) 1( ) 2 1 (cos 2 22 a a a x a1),使得存在 tR,只要 x1,m,就有 f(x+t)x 解:f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于 x= -1 对称 b=2a1 2 a b 由知当 x= 1 时,y=0,即 ab+c=0 由得 f(1)1,由得 f(1)1 f(1)=1,即工+了+以=1,又 ab+c=0 a= b= c= 4 1 2 1 4 1 f(x)= 5 分
5、4 1 2 1 4 1 2 xx 假设存在 tR,只要 x1,m,就有 f(x+t)x 取 x=1 时,有 f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+14t0 4 1 2 1 4 1 对固定的 t-4,0,取 x=m,有 f(t m)m (t+m)2+(t+m)+m 4 1 2 1 4 1 m2(1t)m+(t2+2t+1)0 m 10 分tt41tt41 m=9 15 分tt41)4(4)4(1 当 t= -4 时,对任意的 x1,9,恒有 f(x4)x=(x210x+9)=(x1)(x9)0 4 1 4 1 m 的最大值为 9。 20 分 另解:f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于 x
6、= -1 对称 b=2a1 2 a b 由知当 x= 1 时,y=0,即 ab+c=0 由得 f(1)1,由得 f(1)1 f(1)=1,即工+了+以=1,又 ab+c=0 a= b= c= 4 1 2 1 4 1 f(x)=(x+1)2 5 分 4 1 2 1 4 1 2 xx 4 1 由 f(x+t)=(x+t+1)2x 在 x1,m上恒成立 4 1 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)20 当 x1,m时,恒成立 令 x=1 有 t2+4t04t0 令 x=m 有 t2+2(m+1)t+(m-1)20 当 t-4,0时,恒有解 10 分 令 t= 4 得,m210m+90
7、1m9 15 分 即当 t= 4 时,任取 x1,9恒有 f(x-4)-x=(x210x+9)=(x1)(x9)0 4 1 4 1 mmin=9 20 分 二二年全国高中数学联合竞赛加试试题二二年全国高中数学联合竞赛加试试题 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明:说明: 1 评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分; 评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分; 2 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,可以 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,可以
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