2004年全国高中数学联赛试题及参考答案.pdf
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1、2004 年全国高中数学联赛试题年全国高中数学联赛试题 【第一试】【第一试】 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、设锐角 q 使关于 x 的方程 0cotcos4 2 xx 有重根,则 q 的弧度数 为 A6 B。 12 5 12 或 C。 12 5 6 或 D。12 答: 2、 已知 M= 32| ),( 22 yxyx , N= bmxyyx| ),( , 若对于所有的 Rm , 均有 , NM 则b的取值范围是 A 2 6 , 2 6 B。( 2 6 , 2 6 )C。( 3 32 , 3 32 ) D。 3 32 , 3
2、 32 答: 3、不等式 2log 2 1 1log 3 2 12 xx 0 的解集是 A2,3 B。(2,3) C。2,4 D。(2,4) 答: 4、设 O 点在ABC 内部,且有 032OCOBOA ,则ABC 的面积与AOC 的面积之比为 A2 B。2 3 C。3 D。3 5 答: 5、设三位数 abcn ,若以 cba, 为三条边的长可以构成一个 等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有 A45 个 B。81 个 C。165 个 D。216 个 答: 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是 底面圆内的点, O 为底面圆的圆心, ABOB, 垂足为 B
3、, OHPB, 垂足为 H, 且 PA=4, C 是 PA 的中点,则当三棱锥 OHPC 的体积最大时,OB 的长是 A 3 5 B。 3 52 C。 3 6 D。 3 62 答: 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、在平面直角坐标系 xoy中,函数)0(cossin)(aaxaxaxf 在一个最小正 周期长的区间上的图像与函数 1)( 2 axg 的图像所围成的封闭图形的面积是 _。 8、设函数 ,:RRf 满足 1)0(f ,且对任意的 Ryx, ,都有 ) 1(xyf = 2)()()(xyfyfxf ,则 _)(xf 。
4、 9、如图,正方体 1111 DCBAABCD 中,二面角 11 ABDA 的度数是 _。 10、设 p 是给定的奇质数,正整数k使得 pkk 2 也 是一个正整数,则k=_。 11、已知数列 .,., 210n aaaa 满足关系式 18)6)(3( 1 nn aa 且 3 0 a ,则 n i i a 0 1 的值是_。 12、 在平面直角坐标系 xoy中, 给定两点 M(-1, 2) 和 N(1, 4), 点 P 在 X 轴上移动,当MPN 取最大值时,点 P 的横坐标是_。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、一
5、项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于 n 2 ,则算过关。问: ()某人在这项游戏中最多能过几关? ()他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。 抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数。) 14、 在平面直角坐标系 xoy中, 给定三点 A(0,3 4 ), B(-1, 0), C(1, 0)。 点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中顶。 ()求点 P 的轨迹方程; ()若直线 L 经过ABC 的内心(设为 D),且与 P 点的轨迹恰好有 3 个
6、公共点,求 L 的斜率k的取值范围。 15、已知、 是方程 0144 2 txx ( Rt )的两个不等实根,函数 )(xf 1 2 2 x tx 的定义域为,。 ()求 );(min)(max)(xfxftg ()证明:对于 ) 2 , 0( i u )3 , 2 , 1( i ,若 1sinsinsin 321 uuu ,则 6 4 3 )(tan 1 )(tan 1 )(tan 1 321 ugugug 。 【第二试】【第二试】 一、(本题满分 50 分) 在锐角ABC 中,AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相 交于点 H,以 DE 为直径的圆分别交 AB、AC 于 F、G 两
7、点, FG 与 AH 相交于点 K,已知 BC=25,BD=20,BE=7,求 AK 的长。 二、(本题满分 50 分) 在平面直角坐标系 xoy中, y 轴正半轴上的点列 n A 与曲线 xy2 (x 0)上的点列 n B 满足 n OBOA nn 1 ,直线 nnB A 在 X 轴上的截距为 n a ,点 n B 的横坐标为 n b , Nn 。 ()证明 n a 1n a 4, Nn 。 () 证明有 Nn0 , 使得对 0 nn 都有 n n n n b b b b b b b b 1 12 3 1 2 . b,必须满足 2bab 。此时, 不能构成三角形的数码是 a987654321
8、 b 4,3 2,1 4,3 2,1 3,2 1 3,2 1 1,21,211 共 20 种情况。 同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 2 3 C 种情况。 故 222 2399 (220)6(10)156nCCC 。 综上, 12 165nnn 。 6、6、解: ,ABOBABOPABPBOHPB又 ,PABPOBOHHC OHPA面面 。C 是 PA 中点, OCPA HOC HOHCS当时 最大, 也即 O HPCP HCO VV 最大。 此时, P A B O H C 0 0 2,30 2 6 tan30 3 HOOPHPO OBOP 1 故H O = 2 , 故选
9、 D。 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7、7、解 : 2 1 ( )1sin(),arctanf xaax a 其中 ,它的最小正周期为 2 a ,振幅 为 2 1a 。由 ( )f x 的图像与 ( )g x 的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形 割补成长为 2 a 、宽为 2 1a 的长方形,故它的面积是 2 2 1a a 。 8、8、解: ,(1)( ) ( )( )2,x yRf xyf x f yf yx对有 (1)( ) ( )( )2f xyf y f xf xy有 ( ) ( )( )2f x f yf y
10、x = ( ) ( )( )2f y f xf xy 即 ( )( ),0,( )1f xyf yxyf xx令得 。 9、9、解:连结 1 ,DC 1 作C EBD ,垂足为 E,延长 CE 交 1 AB 于 F,则 1 FEBD ,连 结 AE,由对称性知 1, AEBDFEA 是二面角 11 ABDA 的平面角。 连结 AC,设 AB=1, 则 11 2,3.ACADBD 1 Rt ABD在 中, 1 1 2 3 AB AD AE BD , 在 22222 2 4 2 21 3 cos 4 222 3 AECEACAEAC AECAEC AE CEAE 中, 0 120 ,AECFEAA
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