2005年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案.pdf
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1、二五年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案二五年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 一、选择题 1.使关于 x 的不等式k 有解的实数 k 的最大值是( ) A. B. C. D. 2.空间四点 A、B、C、D,满足、,则 的取值( ) A.只有一个 B.有两个 C.有四个 D.有无穷多个 3.ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线交此圆于 A1、B1、C1三点,则 的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.如图,ABCDABCD为正方体,任作平面 与对角线 AC垂直,使 与正 方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则( ) A.S 是定值
2、,l 不是定值 B.S 不是定值,l 是定值 C.S、l 均是定值 D.S、l 均不是定值 5.方程表示的曲线是( ) A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 6.记集合 T=0,1,2,3,4,5,6,将 M 中的元 素按从大到小顺序排列,则第 2005 个数是( ) A. B. C. D. 二、填空题 7.将多项式 f(x)=1-x+x2-x3+-x19+x20表示为关于 y 的多项式 g(y)=a0+a1y+a2y2+a19y19+a20y20,且 y=x-4,则 a0+a1+a20=_. 8.f(x)是定义在(
3、0,+)上的减函数,若 f(2a2+a+1)f(3a2-4a+1)成立,则实数 a 的 取值范围是_. 9.设 、 满足 02,若对任意 xR, cos(x+)+cos(x+)+cos(x+)=0 成立,则 -=_. 10.如图, 四面体 DABC 的体积为, ACB=45, 则 CD=_. 11.正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上,另外两顶点在 y=x2上,则正方形面积的 最小值为_. 12.若自然数 a 的各位数字之和为 7,则称 a 是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到 大排成一列:a1、a2、a3,若 an=2005,则 a5n=_. 三、解答题 13.数列an满足
4、a0=1,nN,证明 : (1)对于任意 nN,a 为整数;(2)对于任意 nN,anan+1-1 为完全平方数. 14.将编号为 1、2、3、9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分 点上各一个小球,设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S,求值 S 达到最小值 的方法的概率 (若某种方法, 经旋转或镜面反射可与另一种方法重合, 则认为是相同方法). 15.过抛物线 y=x2一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D, 交 y 轴于 B, C 在抛物线上, E 在线段 AC 上,F 在线段 BC 上,且 1+2=1,线段 CD 与 EF 交于 P, 当 C 在抛物线上
5、移动时,求 P 的轨迹方程. 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它 中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本 评分标准适当划分档次评分,5 分为一个档次,不要再增加其它中间档次. 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请 将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得
6、6 分;不选、选错或选出的代表字 母超过一个(不论是否写在括号内),一律得 0 分. 1.解:令,3x6, 则 0y,实数 k 的最大值为.选 D. 2.解:注意到 32+112=130=72+92, 由于, 则 , 即, 只有一个值 0.故选 A. 3.解:如图,连, 则. , 同理, , 原式.选 A. 4.解:将正方体切去两个正三棱锥 A-ABD 与 C-DBC 后,得到一个以平行平面 ABD 与 DBC 为上、下底面的几何 体 V,V 的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W的每一条 边分别与V的底面上的一条边平行, 将V 的侧面沿棱 AB剪开, 展开在一张平面上, 得到一 个平行四
7、边形 ABB1A1, 而多边形 W 的周界展开后 便成为一条与 AA1平行的线段(如图 EE1), 显然 EE1=AA1, 故 l 为定值. 当 E位于 AB中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E移至 A处时,W 为正三角 形,易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为与,故 S 不为定值. 选 B. 5.解:,. ,即 sinsin. 又, cos0,cos0.cos-cos0,方程表示的曲线是椭圆. (*) ,. .(*)式0, 即 sin-sincos-cos.曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆.选 C. 6.解:用a1a2akp表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以
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