2006年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案.pdf
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1、2006 年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知ABC,若对任意 tR,则ABC( ) A.必为锐角三角形 B.必为钝角三角形 C.必为直角三角形 D.答案不确定 2.设 logx(2x2+x-1)logx2-1,则 x 的取值范围为( ) A.x1 B.x,x1 C.x1 D.0x1 3.已知集合 A=x|5x-a0, B=x|6x-b0, a,bN, 且 ABN=2,3,4, 则整数对(a,b)的个数为( ) A.20 B.25 C.30 D.42 4.在直三棱柱中,已知 G 与
2、E 分 别为 A1B1和 CC1的中点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点).若 GDEF,则线段 DF 长度的取值范围为( ) A. B. C.1,) D. 5.设, 则对任意实数 a, b, a+b0 是 f(a)+f(b)0 的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.数码 a1,a2,a3,a2006中有奇数个 9 的 2007 位十进制数的 个数为( ) A. B. C.102006+82006 D.102006-82006 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 二、填空题(本题满分 54 分
3、,每小题 9 分) 7.设 f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x,则 f(x)的值域是_. 8.若对一切 R, 复数 z=(a+cos)+(2a-sin)i 的模不超过 2, 则实数 a 的取值范围为_. 9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2, 点P在直线l: x-y+8+2 =0 上,当F1PF2取最大值时,比的值为_. 10.底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为cm 的实心铁球, 四个 球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没 所有铁球,则需要注水_cm3. 11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+x2004)=2006x20
4、05实数解的个数为_. 12.袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个 白球,则第 4 次恰好取完所有红球的概率为_. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.给定整数 n2,设 M0(x0,y0)是抛物线 y2=nx-1 与直线 y=x 的一个交点. 试证明对于任意正整数 m,必存在整数 k2,使(x0m, y0m)为抛物线 y2=kx-1 与 直线 y=x 的一个交点. 14.将 2006 表示成 5 个正整数 x1,x2,x3,x4,x5之和,记,问: (1)当 x1,x2,x3,x4
5、,x5取何值时,S 取到最大值; (2)进一步,设对任意 1i,j5 有|xi-xj|2,问当 x1,x2,x3,x4,x5取何 值时,S 取到最小值. 说明理由. 15.设 f(x)=x2+a,记 f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x),n=2,3,,M=aR| 对所有正整数 n,|fn(0)| 2. 证明:. 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1. 已知ABC,若对任意 tR,则ABC 一定为(C) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.答案不确定 解令ABC=,过 A 作 ADBC 于 D,由,推出 ,令,代入上式,得 ,即,也即 .从而有.由此可得.
6、2.设 logx(2x2+x-1)logx2-1,则 x 的取值范围为(B) A.x1 B.x,且 x1 C.x1 D.0x1 解因为,解得 x,x1,由 ,解得 0x1; 或,解得 x1,所以 x 的取值范围为 x,且 x1. 3.已知集合 A=x|5x-a0, B=x|6x-b0, a,bN, 且 ABN=2,3,4, 则整数对(a,b)的个数为(C) A.20 B.25 C.30 D.42 解.要使 ABN=2,3,4,则 ,即,所以数对(a,b)共有. 4.在直三棱柱中, 已知 G 与 E 分 别为 A1B1和 CC1的中点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点
7、).若 GDEF,则线段 DF 长度的取值范围为(A) A. B. C.1,) D. 解建立直角坐标系, 以 A 为坐标原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1为 z 轴, 则 F(t1,0,0)(0t11),E(0,1,),G(,0,1),D(0,t2,0)(0t21).所以 ,.因为 GDEF, 所以 t1+2t2=1, 由此推出 0t2.又 ,从而有. 5.设, 则对任意实数 a, b, a+b0 是 f(a)+f(b)0 的(A) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解显然为奇函数,且单调递增.于是若 a+b0, 则 a-b
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