2010年全国高中数学联赛试题及答案.pdf
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1、2010 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 一一 试试 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, )一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1.函数的值域是 .xxxf3245)( 2.已知函数的最小值为,则实数的取值范围是 .xxaysin)3cos( 2 3a 3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标1 22 yx100x 均为整数的点)的个数是 . 4.已 知是 公 差 不 为的 等 差 数 列 ,是 等 比 数 列 , 其 中 n a0 n b , 且存在常数使得对每一个正整数都有, 则 352211 3 , 1, 3bababa,n nn bal
2、og . 5.函数 在区间上的最大值为 8, 则它在这个区) 1, 0(23)( 2 aaaaxf xx 1 , 1x 间上的最小值是 . 6.两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7.正三棱柱的 9 条棱长都相等,是的中点, 二面角, 111 CBAABC P 1 CC 11 BPAB 则 .sin 8.方程满足的正整数解(x,y,z)的个数是 . 2010zyxzyx 二、解答题(本题满分 56 分)二、解答题(本题满分 56 分) 9. (16 分)9. (16 分) 已知函数, 当时, 试求)0()(
3、 23 adcxbxaxxf10 x1)( x f 的最大值. a 10.(20 分 )10.(20 分 ) 已知抛物线上的两个动点,其中且xy6 2 1122 ( ,)(,)A x yB xy和 21 xx .线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值. 4 21 xxABxCABC 11.(20 分)11.(20 分)证明:方程恰有一个实数根,且存在唯一的严格递增正整数数0252 3 xxr 列,使得 . n a 321 5 2 aaa rrr 解解 答答 1. 提示:易知的定义域是,且在上是增函数,从而可知3, 3)(xf8 , 5)(xf8 , 5 的值域为.)(xf3, 3 2. 提
4、示:令,则原函数化为,即12 2 3 atx sintaattg)3()( 2 .taattg)3()( 3 由, 及 3)3( 3 taat0) 1(3) 1( 2 ttat0)3) 1()(1(tatt01t 知 即 03) 1(tat . (1)3)( 2 tta 当时(1)总成立;1, 0 t 对;对.从而可知 .20 , 10 2 ttt0 4 1 , 01 2 ttt12 2 3 a 3. 9800 提示 : 由对称性知,只要先考虑轴上方的情况,设与双曲线x)99, 2 , 1(kky 右半支于,交直线于,则线段内部的整点的个数为,从而在轴上方区 k A100x k B kkB A
5、99kx 域内部整点的个数为 . 99 1 (99)99 494851 k k 又轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为.x98009848512 4. 提示 :设的公差为的公比为,则 3 33 n a , n bdq (1),3qd , (2) 2 )43(3qd (1)代入(2)得,求得.96129 2 ddd9, 6qd 从而有 对一切正整数都成立,即 对 1 9log) 1(63 n nn 9log) 1(36nn 一切正整数都成立.n 从而 , 9log3, 69log 求得 ,.3, 3 3 33 3 5. 提示:令则原函数化为,在上是递增的. 4 1 , ya x 23)(
6、2 yyyg)(yg 3 (,+ ) 2 当时,,10 a, 1 aay , 211 max 1 ( )3282 2 g yaaaa 所以 ; 4 1 2 2 1 3) 2 1 ()( 2 min yg 当时,1a, 1 aay ,2823)( 2 max aaayg 所以 . 4 1 2232)( 12 min yg 综上在上的最小值为.)(xf 1 , 1x 4 1 6. 提示 : 同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为, 从而先投掷人的获胜概率为 12 1712 7 36 21 . 12 7 ) 12 5 ( 12 7 ) 12 5 ( 12 7 42 17 12 144 25 1 1
7、 12 7 7. 提示:解法一解法一:如图,以所在直线为轴,线段中点为原点,所在 10 4 ABxABOOC 直线为轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则y ,从而,) 1 , 3, 0(),2 , 0 , 1(),2 , 0 , 1 (),0 , 0 , 1 ( 11 PABB ) 1, 3, 1(),0 , 0 , 2(),1 , 3, 1(),2 , 0 , 2( 1111 PBABBPBA . 设分别与平面、平面垂直的向量PBA1PAB 11 是、,则),( 111 zyxm ),( 222 zyxn , 03 , 022 111 111 zyxBPm zxBAm , 03
8、 , 02 2221 211 zyxPBn xABn 由此可设 ,所以,即)3, 1 , 0(),1 , 0 , 1 (nmcosm nmn . 6 32 2 coscos 4 所以 . 4 10 sin 解法二解法二:如图, .PBPAPCPC 11, 设与交于点 则BA1 1 AB,O . 1111 ,OAOB OAOB ABAB 从 而平 11 ,PAPBPOAB因为所以 1 AB 面 .BPA1 过在平面上作,垂足为.OBPA1PAOE 1 E 连结,则为二面角的平EB1EOB1 11 BPAB 面 角.设,则易求得.2 1 AA3,2,5 111 POOBOAPAPB 在直角中,,即
9、 .OPA1OEPAPOOA 11 5 6 ,532OEOE 又 . 5 54 5 6 2,2 22 111 OEOBEBOB . 4 10 5 54 2 sinsin 1 1 1 EB OB EOB 8. 336675 提示:首先易知的正整数解的个数为 .2010zyx10042009 2 2009 C 把满足的正整数解分为三类:2010zyxzyx (1)均相等的正整数解的个数显然为 1;zyx, (2)中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003;zyx, (3)设两两均不相等的正整数解为.zyx,k O E P C1 B1 A1 C B A 易知 ,100420096100
10、331k 所以 110033100420096k ,200410052006123200910052006 即 .3356713343351003k 从而满足的正整数解的个数为zyx .33667533567110031 9. 解法一:9. 解法一: 由 得,23)( 2 cbxaxxf cbaf cbaf cf 23) 1 ( , 4 3 ) 2 1 ( ,)0( .) 2 1 (4) 1 (2)0(23fffa 所以 ) 2 1 (4) 1 (2)0(23fffa ,) 2 1 (4) 1 (2)0(2fff8 所以. 又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值 3 8 amxxxxf 2
11、3 4 3 8 )(ma 为. 3 8 解法二解法二:. 设,则当时,. cbxaxxf23)( 2 1)()(xfxg10 x2)(0xg 设 ,则.12 xz11, 2 1 z z x .1 4 3 2 23 4 3 ) 2 1 ()( 2 cb a z ba z az gzh 容 易 知 道 当时 ,. 从 而 当时 ,11z2)(0 , 2)(0zhzh11z , 即 2 2 )()( 0 zhzh ,21 4 3 4 3 0 2 cb a z a 从而 ,,由 知. 01 4 3 cb a 2 4 3 2 z a 10 2 z 3 8 a 又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为
12、. mxxxxf 23 4 3 8 )(ma 3 8 10. 10. 解法一:设线段的中点为,则 ,AB),( 00 yxM 2 , 2 2 21 0 21 0 yy y xx x . 012 2 1 2 2 12 12 12 36 66 yyyyy yy xx yy kAB 线段的垂直平分线的方程是AB . (1))2( 3 0 0 x y yy 易知是(1)的一个解,所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点0, 5yxABxC 坐标为. C)0 , 5( 由(1)知直线的方程为,即 AB)2( 3 0 0 x y yy . (2)2)( 3 0 0 yy y x (2)代入得,即xy6
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