2019届高三数学备考冲刺140分问题39二项式定理与其他知识的交汇问题(含解析).pdf
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1、问题 39 二项式定理与其他知识的交汇问题问题 39 二项式定理与其他知识的交汇问题 一、考情分析 二项式定理是高考高频考点,基本上每年必考,难度中等或中等以下,二项式定理作为一个工具,也常与其他 知识交汇命题,如与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理, 还要考查其他知识,其解题的关键点是它们的交汇点,注意它们的联系 二、经验分享 1.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减 1 直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数 由零逐项增
2、1 直到n. (4)二项式的系数从 C ,C ,一直到 C,C . 0n1nn1nn n 2.求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数 项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k1,代回通项公式即可 3.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求 近似值则应关注展开式的前几项 4.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式 三、知识拓展三、知识拓展 1.“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(axb)n,(ax2bxc)m (a,bR R)的式子
3、求 其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x1 即可 ; 对形如(axby)n (a,bR R)的式子求其展开式 各项系数之和,只需令xy1 即可 2.若f(x)a0a1xa2x2anxn, 则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为a0a2a4 11 2 ff ,偶数项系数之和为a1a3a5 11 2 ff . 四、题型分析四、题型分析 (一) 二项式定理与函数的交汇(一) 二项式定理与函数的交汇 【例 1】设函数f(x)则当x0 时,ff(x)表达式的展开式中常数项为( ) (x1 x) 6,x 0 时,将ff(x)表达式转化为二项式 【小试牛刀】 设( )f x是
4、26 1 () 2 x x 展开式的中间项,若( )f xmx在区间 2 , 2 2 上恒成立,则实数 m 的 取值范围是( ) A (,5) B (,5 C (5,) D5,) 【答案】D 【解析】由题意可知 363 63 15 ( ) 2 2 f xC xx x ,由 3 5 ( ) 2 f xxmx得 2 5 2 mx在区间 2 , 2 2 上恒 成立,所以5m ,故选 D (二) 二项式定理与数列的交汇 (二) 二项式定理与数列的交汇 【例 2】将 2 1 1 n x (n )的展开式中 4 x的系数记为 n a,则 232015 111 aaa 【答案】 4028 2015 【解析】
5、 2 1 1 n x (n )的展开式的通项为 2 1 2 1 1 r r rrr rnn TCC x x ,由题意可知2r ,此 时, 2 (1) 2 nn n n aC ,所以 1211 2() (1)1 n an nnn ,所以 232015 1111111114028 2(1)()()2(1) 2232014201520152015aaa 【小试牛刀】 设二项式n(N N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn,则 (x 1 2) n a1a2an b1b2bn ( ) A2n13 B2(2n11) C2n1 D1 【答案】C 【解析】由题意知an2n成等比数列,令x1 则
6、bn也成等比数列,所以2n1,故选 C. ( 1 2) n a1a2an b1b2bn (三) 二项式定理与不等式的交汇 (三) 二项式定理与不等式的交汇 【例 3】 若变量 yx, 满足约束条件 02 02 02 x yx yx ,22yxn,则n取最大值时, n x x 1 2二项展开式 中的常数项为 . 【答案】240 【解析】画出不等式组表示平面区域如图,由图象可知当动直线22nxy经过点)4 , 2(A时, 22yxn取最大值6.当6n时,故由二项式展开式的通项公式 r r rrrrr r xC x xCT 2 6 6 66 61 2) 1 ()2( ,由 题 设0 2 6 r r
7、可 得2r,所 以 展 开 式 中 的 常 数 项 是 2402 2 6 4 C,故应填答案240. 【小试牛刀】已知的展开式中 与的项的系数之比为,则的最小值为 ( ) A B C D 【答案】C 【解析】在二项式的展开式中 项的系数是,在二项式的展开式中项的系数 是。由题设可得,即,所以(当且仅当取等 号) ,应选答案 C。 (四) 二项式定理与定积分的交汇 (四) 二项式定理与定积分的交汇 【例 4】 【2017 届福建福州外国语学校高三理适应性考试三】已知 6 1 ()x ax 展开式的常数项是 540,则由曲 线 2 yx和yx围成的封闭图形的面积为 【答案】 5 12 【解析】二项
8、式 6 1 ()x ax 展开式的通项 66 2 166 11 ()( ) rrrrrr r TC xC x axa ,令620,3rr,所以有 33 6 1 ( )540C a ,求出 1 3 a ,所以 1 3 yxx ,联立 2 1 3 yx yx ,交点坐标为(0,0),(1,1),所以由曲线 2 yx和 yx围成的封闭图形的面积 14 23 33 11 31315 ()() 00434312 Sxxdxxx . 【小试牛刀】 【山东省德州市 2019 届高三模拟】在的展开式中,项的系数等于 264,则 等于 A B C D 【答案】B 【解析】 (a)12的展开式的通项为 由,得r1
9、0 ,解得a2(舍)或a2 (2x)dx(lnx+x2)ln2+4ln11ln2+3 故选:B (五) 二项式定理与导数的交汇(五) 二项式定理与导数的交汇 【 例5】 2016220152016 01220152016 122222xaaxaxaxaxxR,则 123420152016 23420152016aaaaaa( ) A1008 B2016 C4032 D0 【答案】C 【解析】设函数 2016 )21 ()(xxf,求导得: 20152015 )21 (4032)2()21 (2016)(xxxf , 又 2016 2016 2015 2015 2 210 )2()2(.)2()
10、2()(xaxaxaxaaxf, 求导得 2015 2016 2 321 )2(2016.)2(3)2(2)(xaxaxaaxf,由令1x得: ) 1 ( f 123420152016 23420152016aaaaaa4032) 1(4032 2015 故选 C 【小试牛刀】求证 1231 C2C3CC2 nn nnnn nn 【证明】由二项式定理可得1 n x 012233 =C +CCCC, nn nnnnn xxxx 两边取导数可得 1 1 n nx 121321 =C2C3CC, nn nnnn xxnx 令1x 得 1231 C2C3CC2 nn nnnn nn . (六) 二项式
11、定理与信息迁移题的交汇 (六) 二项式定理与信息迁移题的交汇 【例 6】已知m是一个给定的正整数,如果两个整数a,b除以m所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记 作ab(mod m),例如:513(mod 4).若 22015r(mod 7),则r可能等于( ) A.2013 B.2014 C.2015 D.2016 【答案】A 【解析】 220152223671486714(71)6714(7671C7670C71).因此22015除以7的余数为4. 1671670671 经验证,只有 2013 除以 7 所得的余数为 4.故选 A.A. 【小试牛刀】用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.
12、由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中取出 若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式 1abab表示出来,如 : “1”表示一个球都不取、“a” 表示取出一个红球、 而 “ab” 则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出 的所有取法的是( ) A.(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5 B.(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5 C.(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5) D.(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5) 【
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