2019届高三数学备考冲刺140分问题40与几何概型相结合的问题(理科包括与定积分的交汇)(含解析).pdf
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1、问题 40 与几何概型相结合的问题问题 40 与几何概型相结合的问题 一、考情分析 数学学科内知识交汇问题,试题比较新颖,具有一定的综合性,因此在近几年的高考中,是出题的热点,而几 何概型与其他知识的交汇问题,以其新颖,综合性,而渐成为命题的一个重要的着眼点,体现高考中考查学生 探究能力和创新能力的立意,及在知识交汇处命题的原则,所以这类题应引起学生的注意. 二、经验分享 1.求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求 解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度) 2.求
2、解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量 看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解 3.求解与体积有关的几何概型的注意点 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某 些较复杂的问题也可利用其对立事件去求 4.解决几何概型问题,注意正确区分古典概型与几何概型. 例 1:在区间0,10上任意取一个整数x,则x不大于 3 的概率为_. 例 2:在区间0,10上任意取一个实数x,则x不大于 3 的概率为_. 例 1 的基本事件总数为有限个 11,不大于
3、 3 的基本事件有 4 个,此为古典概型,故所求概率为.例 2 的基 4 11 本事件总数为无限个,属于几何概型,所求概率为. 3 10 5.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果, 每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示,而所有基本结果对应于一个区域 ,这时,与 试验有关的问题可考虑利用几何概型解决. 三、知识拓展三、知识拓展 准确分清几何概型中的测度. 例 1:在等腰 RtABC中,C90,在直角边BC上任取一点M,求CAM30的概率. 例 2:在等腰 RtABC中,C90,在CAB内过点A作射线交线段BC于点M,求CAM
4、30的概率. 例1中的测度定性为线段长度, 当CAM030,CM0ACCB.满足条件的点M等可能的分布在线段CM0 3 3 3 3 上,故所求概率等于.例 2 中的测度定性为角度,过点A作射线与线段CB相交,这样的射线有无数 CM0 CB 3 3 条,均匀分布在CAB内,CAB45.所以所求概率等于. CAM0 CAB 30 45 2 3 2.科学设计变量,数形结合解决问题. 例 1: 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待时间不多于 10 分钟的概率. 例 2:某人午觉醒来,发现表停了,求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过 5 分钟的概率. 例1中的变量(单变量)
5、可看作是时间的长度, 故所求概率为.例2容易犯解例1形成的定势思维的错误, 10 60 1 6 得到错误答案.原因在于没有认清题中的变量,本题的变量有两个:手表停的分钟数和实际分钟数, 5 60 1 12 都可取0,60内的任意时刻,故所求概率需用到面积型几何概型,由|xy|5 结合线性规划知识可解, 所求概率为.通过这两道例题我们也可以看出, 单变量多用线型测度, 多变量需用面积(或体积) 602552 602 23 144 型测度.在画好几何图形后,利用数形结合思想解题. 四、题型分析四、题型分析 与函数,方程,不等式相结合的几何概型与函数,方程,不等式相结合的几何概型 【例 1】已知,
6、a b都是区间0,4内任取的一个数,那么函数2 3 1 )( 222 xbaxxxf在Rx上是增函 数的概率是 【分析】函数2 3 1 )( 222 xbaxxxf在Rx上是增函数,这是一个三次函数,故只需它的导函数在 Rx上 22 ( )20fxxaxb,即 22 440ab,求出, a b满足的关系式,再有线性规划可求出所 求的概率. 【 解析】答案填 1 2 ,因为, a b都是区间0,4内任取的一个数,所以点, a b构成边长为 4 的正方形. 22 ( )2fxxaxb,要满足函数2 3 1 )( 222 xbaxxxf在Rx上是增函数,需 22 440ab, 即 22 0ab,又,
7、 a b都是区间0,4内任取的一个数,所以ab,画出边长为 4 的正方形及ab的可行域, 由可行域知:函数是增函数的概率为 1 2 . 【点评】本题将几何概型与方程及不等式交汇在一起,解题时应综合运用相应的知识进行转化,同时数形结 合,有利于直观准确求解. 【小试牛刀】 【河南名校联盟 2019 届 2 月联考】 在区间内,任取 个数 ,则满足的概 率为() A B C D 【答案】D 【解析】由题意,满足,则,解得, 所以在区间内,任取 1 个数 时,概率为,故选 D。 二与解析几何相结合的几何概型二与解析几何相结合的几何概型 【例 2】 已知直线 1 () 4 yk x与曲线yx恰有两个不
8、同的交点,记k的所有可能取值构成集合A;,P x y, 是椭圆 2 2 1 169 y x 上一动点, 111 (,)P xy与点P关于直线yx1 对称,记 1 1 4 y 的所有可能取值构成集合B, 若随机的从集合A,B中分别抽出一个元素 12 , ,则 12 的概率是_ 【分析】直线 1 () 4 yk x与曲线yx恰有两个不同的交点,求出k满足的条件,即得集合A;再根据 111 (,)P xy与点P关于直线yx1 对称,求出对称椭圆的方程,从而得 1 1 4 y 的范围,即得集合B;可由几何 概型的求法,求出 12 的概率. 【解析】答案填 3 4 ,由 1 () 4 xk x,当0x
9、时,显然0k ,两边平方得, 22 22 216 kk xk xx,即 22 22 (1)0 216 kk k xx,由题意,该方程有两个不相等的正实数根,即 2 22 22 1 0 2 (1)40 216 k kk k 即 2 2 1 2 1 0 k k 结合0k 解得0,1k,即0,1A ,对于椭圆 2 2 1 169 y x ,由于原点关于1yx的对称点为1,1,所 以,椭圆关于1yx的对称椭圆为 22 (1)(1) 1 169 yx , 111 (,)P xy在改椭圆上,可知 1 14, 4y ,于是 1 1 1,1 4 y ,即1,1B . 【方法一】由 12 ,AB,分别以 12
10、, 为横坐标和纵坐标,可知点( 12 , )构成一个面积为 2 的矩形,其中 满足 12 的是图中阴影部分,面积为 3 2 ,所以,满足 12 的概率是 3 4 . 【方法二】 当 12 , 1, 0A 时,此事件发生的概率为 1 2 ,此时必有 12 ,当 12 ,(0,1A时,此事件发 生的概率为 1 2 ,此时 12 与 12 概率相等,各占 1 2 ,于是此时满足 12 的概率为 1 4 ,以上两事件互斥, 且1,0与(0,1的区间长度相等,故满足 12 的概率为 311 244 . 【点评】本题将直线与曲线的交点,轴对称图形,坐标的取值范围,几何概型交汇在一起,综合性强,解题时把 各
11、个知识点分解转化;注意:当基本事件受两个连续变量控制时,一般是把两个连续变量分别作为一个点的 横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决 【小试牛刀】 【2019 年四川省达州市一诊】b是区间上的随机数,直线与圆 有公共点的概率为 A B C D 【答案】C 【解析】b是区间上的随机数即,区间长度为, 由直线与圆有公共点可得, ,区间长度为, 直线与圆有公共点的概率, 故选C 三与向量,三角相结合的几何概型三与向量,三角相结合的几何概型 【例 3】已知三点 31 2,1 ,1, 2 ,02 55 ABCP a bOP OA 动点满足,且02OP OB ,则 动点
12、 P 到点 C 的距离小于 1 5 的概率为( ) 1 2 01 1 1 A. 20 B. 1 20 C. 19 20 D. 19 1 20 【分析】根据条件0 2OP OA 与0 2OP OB ,找出, a b满足的条件 022, 022, ab ab ,作出图像,数 形结合,即可求出动点 P 到点 C 的距离小于 1 5 的概率. 【解析】答案选 A,动点( , )P a b满足的不等式组为 022, 022, ab ab 画出可行域可知P在以 31 , 55 C 为中 心且边长为 2 5 5 的正方形及内部运动,而点P到点C的距离小于 1 5 的区域是以 31 , 55 C 为圆心且半径
13、 为 1 5 的圆的内部,所以概率 2 2 1 ( ) 5 202 5 () 5 p .故选 A 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 20151055101520 2a+b=2 2a+b=0 a-2b=2 a-2b=0 【点评】本题是将向量,不等式,几何概型结合在一起,具有一定的综合性,求解几何概型的概率问题,一定要 正确确定试验的全部结果构成的区域,从而正确选择合理的测度,进而利用概率公式求解 【小试牛刀】已知函数( )sin3cosf xxx,当0, x时,( )1f x 的概率为( ) A 1 3 B 1 4 C. 1 5 D 1 2 【答案】D 【解析】由( )sin3c
14、os2sin()1 3 f xxxx 及0, x得0, 2 x ,所以所求概率为 1 2 2 P ,故选 D. 解几何概型题注意: 1区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个 2转化思想的应用 对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式 (1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上即可; (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利 用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型; (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则
15、可用这三个变量组成的有序数组来表 示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型 失误与防范:1 准确把握几何概型的“测度”是解题关键; 2 几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 四、迁移运用四、迁移运用 1 【黑龙江省齐齐哈尔市 2019 届高三第一次模拟考试 (3 月)】 随着计算机的出现, 图标被赋予了新的含义, 又有了新的用武之地.在计算机应用领域,图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一 种被称之为“黑白太阳”的图标,该图标共分为 3 部分.第一部分为外部的八个全等的矩形,每一个矩形的 长为 3、宽为 1;第二部分为圆环部分,大圆
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