专题3.5:以“ ”为背景的问题的研究与拓展.pdf
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1、 专题 3.5:以“”为背景的问题的研究与拓展 2 lnln 21 21 21 xx xx xx 【探究拓展】 探究 1:已知二次函数 2 f xaxbxc和“伪二次函数” 2 lng xaxbxcx (0abc ) , (1)证明:只要0a ,无论b取何值,函数 g x在定义域内不可能总为增函数; (2) 在同一函数图像上任意取不同两点 1122 (,), (,)A x yB xy, 线段AB中点为0 , 0 xC, 记直线AB的斜率为 k, 对于二次函数 2 f xaxbxc,求证: 0 ()kfx; 1 对于“伪二次函数” 2 lng xaxbxcx,是否有同样的性质?证明你的结论. 2
2、 1 解:(1)如果0, ( )xg x为增函数,则 2 2 ( )20 caxbxc g xaxb xx ()恒成立, 当0x 时恒成立, 2 20axbxc() 0,a 由二次函数的性质, ()不可能恒成立. 则函数( )g x不可能总为增函数. (2)对于二次函数: 22 212121 2121 ()f xf xa xxb xx k xxxx = 0 2axb. 1 由( )2,fxaxb 00 ()2fxaxb,则 0 ()kfx 不妨设 21 xx,对于“伪二次函数”: 2 法一: 2 ln( )lng xaxbxcxf xcxc. 2 21 21 1 2121 ()()ln x f
3、 xf xc g xg xx k xxxx 2 1 0 21 ln (), x c x fx xx () 又 00 0 () c gxfx x , () 法二: 22 2 2121 21 1 2121 ()ln x a xxb xxc g xg xx k xxxx = 2 1 0 21 ln 2 x c x axb xx , () 由(1)中() 00 0 2 c gxaxb x , ()如果有的性质,则 0 gxk , 1 比较()( )两式得 2 1 210 ln x c xc xxx ,0,c 即: 2 1 2112 ln 2 x x xxxx ,() 令 2 1 , 1, x tt x
4、 ln2 11 t tt , () 设 22 ( )ln 1 t s tt t ,则 2 22 12(1)2(1)(1) ( )0 (1)(1) ttt s t ttt t , ( )s t在(1,)上递增, ( )(1)0s ts. ()式不可能成立,()式不可能成立, 0 gxk. “伪二次函数” 2 lng xaxbxcx不具有的性质. 1 探究 2: 已知函数 2 ( )(12 )ln()f xaxa xx aR (1)当时,求函数的单调增区间;0a ( )f x (2)当时,求函数在区间上的最小值;0a ( )f x 1 ,1 2 (3)记函数图象为曲线,设点,是曲线上不同的两点,点
5、为线段( )yf xC 11 (,)A x y 22 (,)B xyCMAB 的中点,过点作轴的垂线交曲线于点试问:曲线在点处的切线是否平行于直线?并MxCNCNAB 说明理由 解:(1), 2 分 2 12(12 )1 ( )2(12 ) axa x fxaxa xx (21)(1)axx x 因为,所以,解,得,0a 0x 210ax ( )0fx1x 所以的单调增区间为 4 分( )f x(1,) (2)当时,由,得,0a ( )0fx 1 1 2 x a 2 1x 当1,即时,在上是减函数, 1 2a 1 0 2 a( )f x(0,1) 所以在上的最小值为 6 分( )f x 1 ,
6、1 2 (1)1fa 当,即时, 11 1 22a 1 1 2 a 在上是减函数,在上是增函数,( )f x 11 , 22a 1 ,1 2a 所以的最小值为 8 分( )f x 11 ()1ln( 2 ) 24 fa aa 当,即时,在上是增函数, 11 22a 1a ( )f x 1 ,1 2 所以的最小值为( )f x 113 ( )ln2 224 fa 综上,函数在区间上的最小值( )f x 1 ,1 2 min( )f x 13 ln2, 1, 24 11 1ln( 2 ), 1, 42 1 1, 0. 2 aa aa a aa 10 分 (3)设,则点 N 的横坐标为, 00 (,
7、)M xy 12 0 2 xx x 直线 AB 的斜率 22 12 1121221 1212 1 ()(12 )()lnln yy ka xxa xxxx xxxx =, 21 12 12 lnln ()(12 ) xx a xxa xx 曲线 C 在点 N 处的切线斜率 20 ()kfx 0 0 1 2(12 )axa x , 12 12 2 ()(12 )a xxa xx 假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB,则, 12 kk 即, 13 分 21 1212 lnln2 = xx xxxx 所以,不妨设,则, 2 2211 2 112 1 2(1) 2() ln 1 x xxx
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