专题4.15:算两次思想的研究与拓展.pdf
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1、 专题 4.15:算两次思想的研究与拓展 【课本溯源】 如图,平行四边形中,是中点,交于,试用向量的方法证明:是的一ABCDEDCAEBDMMBD 个三等分点. 【探究拓展】 探究 1:在任意四边形中,分别是的中点,求证:ABCD,E F,AD BC2ABDCEF (算两次的数学思想,教材习题,三种方法) 变式 1:已知是线段外一点,且OAB,OAa OBb (1)若点是线段的三等分点,试用向量表示;,P QAB, a b OPOQ (2)如果在线段上有若干个等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.AB 教材习题,倒序求和方法的思路来源 变式 2:已知点分别是和的重心,且, 12 ,G G
2、111 ABC 222 A B C 121 A Ae 122 B Be ,则 123 C Ce 12 _GG 123 1 ) 3 eee ( 解:对向量进行算三次,利用重心模型,可得结论. 12 GG 变式 3:等腰三角形中, ABCFEAACAB,120, 1 分 别 是 边上 的 点 , 且其 中ACAB,ACnAFABmAE 若的中点分别为且则),1 , 0(, nmBCEF, NM, 14 nmMN 的最小值是 . 7 7 变式 4: 在正ABC中, 点D在边 AB 上, AD 1, 点E 在边BC 上, CE 2, 点 M, N 分 别为线段 DE, AC 的中点,则 MN _ 探究
3、 2: 在中,为角平分线,点为的中点,ABCADEAD交于BEAC 点,若, 且,用表示出FaAB bAC 2a1bba, BFBEAD, A B M N E C F N M E D CB A 解:由内角角平分线定理可得,故,2 BD DC 12 33 ADab 由向量的三角形中线模型得:, 51 63 BEab , 51 63 BFBEab BFBAAFab 得:,故, 62 , 55 2 5 BFab 变式 1: 在中,点分别在边上,且,与交于点,ABCED,ACBC、CACEBCBD 3 1 , 4 1 ADBER 求及的值 及 AD RD BE RE1 = 9 RD AD 2 = 3
4、RE BE 变式 2: 在中,交于点,设试以为基底OAB 11 , 42 OCOA ODOB ADBCM,OAa OBb , a b 表示()OM 13 = 77 OMab 变式 3:在中,是边上的中点,点在边上,ABC2, 3ACAB, 3 ADACEAB 且,与交于点,是的中点,则_.EBAE 2 1 BDCEMNBC ANAM 探究 3:我们知道,对一个量用两种方法分别算一次,由结果相同可以构造等式,这是一种非常有用的思 想方法算两次(原理) ,如小学有列方程解应用题,中学有等积法求高. 结合二项式定理,利FubiniG 用等式, nnn xxx 2 )1 ()1 ()1 () * Nn
5、 证明:(1);(2) n r n n r n CC 0 2 2 )( n r m n rm n r n CCC 0 2 )( 变式 1:利用上述想法及等式 nn xxxx)sin(cos)cos(sin 2222 证明:1)cos(sin2sin 2 xxx nnn 变式 2:能否对下列组合恒等式给出一个合理的解释?(算两次的思想) 组合数公式;(可化简:或倒序求和法) 1 1 k n k n nCkC n nnnn nCCCC 321 32 拓展 1: 在等式()两边求导,得 :,由求导法则, 2 cos22cos1xxxR 2 (cos2 )(2cos1) xx 得,化简得等式:)sin
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- 专题 4.15 两次 思想 研究 拓展
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