专题4.5:向量等式处理方式研究与拓展.pdf
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1、 专题 4.5:向量等式处理方式研究与拓展 【问题提出】 在中,有向量等式,如何得到数量等式?ABCCBACAB (1)平方法:得到余弦定理 (2)点乘法:点乘其中的已知向量,如两边可同时点乘,得到射影定理;AB 点乘其中一个向量的垂直向量,可得到正弦定理; 点乘其中一条直线的垂直平面内的一条直线,可得三垂线定理. 【探究拓展】 探究 1:ABC 中,是边上任一点,且与不重合,若, 6 A DBC,B C 22 ABADBD DC 则_.(数量等式变形为向量等式)B 75 探究 2:已知是锐角ABC 的外接圆圆心,且,则 OA coscos 2 sinsin BC ABACmAO CB m (
2、用表示) 解法解法 1 如图 1,作 OEAC 交 AB 于 E,作 OFAB 交 AC 于 F 由正弦定理,得 sinsinsin AEAOAO AOEAEOA 又AOE=OAF=, 2 ADC 2 B 所以,所以 cos sin AOB AE A cos sin AOBAB AE AAB 同理, cos sin AOCAC AF AAC 因,故AEAFAO coscos sinsin AOBABAOCAC AO AABAAC 因,故上式可化为,2 sinsin ABAC AO CB coscos 2sinsin2sinsin BC ABACAO ACAB 即,所以 m=sin coscos
3、 2sin sinsin BC ABACA AO CB 解法解法 2 将等式两边同乘以,得 coscos 2 sinsin BC ABACmAO CB 2AO ,即 222 coscos 4 sinsin BC ABACmAO CB 22 22 coscos sin4sin4 BABCAC m CAOBAO 由正弦定理,得 m=cosBsinC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA=sin 22 coscos sinsin sinsin BC CB CB 解法解法 3 将已知等式两边平方,得 coscos 2 sinsin BC ABACmAO CB A B C O E F D 图 1
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- 专题 4.5 向量 等式 处理 方式 研究 拓展
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