专题4.6:共线向量定理的研究与拓展.pdf
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1、 专题 4.6:共线向量定理的研究与拓展 【课本溯源】 在OAB 中,C 为直线 AB 上一点,=(1),求证:=.AC CB OC + 1 + 上述例题中如果令a=,b=,则我们可以得到:OAB中,若C为直线AB上一点,则=a+b 1 1 + 1 + OC OA OB 且 a+b=1.而这个命题的逆命题也成立,于是我们有如下结论. 平面上三点 A,B,C 共线的充要条件是存在 a,b 使得=a+b,其中 O 为平面内任一点且 a+b=1.OC OA OB 【问题提出】 1. 在ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若=2,=+,则=_.AD DB CD 1 3CA CB 2. 已知等差数
2、列an前 n 项和为 Sn,若=a1+a200,且 A,B,C 三点共线(该直线不过点 O) ,则 S200=_.OB OA OC 【探究拓展】 探究 1:如图,在直角梯形 ABCD 中,ABAD,AD=DC=1, AB=3,动点 P 在ABC 内运动(含边界) ,设 ,则的取值范围是 .),(RADABAP 变式 1:如图,在正方形中,为的中点,为以ABCDEABP为圆A 心 、为 半 径 的 圆 弧 上 的 任 意 一 点 , 设 向 量AB ,则的最小值为 ACDEAP 变式 2:是圆上三点,的延长线与线段的延长CBA,COBA 线 交 于 圆 外的点,若,则的取值范围是_ODOBnOA
3、mOCnm0 , 1k 解析:,由题易得:且OBnOAmODk0 , 1knmk 探究 2: 已知为锐角三角形的外心, 若, 且OABC10, 6ACABACyABxAO5102yx ,则_cosBAC 变式 1:在中,设是的内心,若ABC2 BCAB3ACOABC P C B A D ,则的值为_ACqABpAO q p 变 式 2: 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 设若).3 , 1 (),1 , 3(,babOBaOA其中 且,C 点所有可能的位置区域的面积为 10,baOC0, 变式 3:若内接于以为圆心,以 1 为半径的圆,且,则该的面积ABCO3450OAOBOC ABC 为 变式 4:在中,已知,为线段上的点,且ABC9 ACABCABsincossin6 ABC SPAB ,则的最大值为_ 3 |CB CB y CA CA xCPxy 由题易得:,求的最大值(可考虑三角换元或直接基本不等式))0, 0( 1 43 yx yx xy 变式 5:在中,设是的中点,是所在平面内ABC 6 B33|AB6|BCDABOABC 一点,且,则的值是_.1023OCOBOA| DO 另解 1:坐标法; 另解 2:加上一个向量,也可以完成;OB 另解 3:或者将三个向量同时插入一个点也可以;D 【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?
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