专题5.1:解集为整数点的不等式(组)问题的研究与拓展.pdf
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1、 专题 5.1:解集为整数/点的不等式(组)问题的研究与拓展 【课本溯源】【课本溯源】不等式组表示的平面区域内的整点个数为_. 12 0 , 5 , 0 y yx yx 【问题提出问题提出】 问题 1:如何研究上述整点问题? 变式 : 在不等式组所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的称为格点)中任取 303 1 yx x y x 个点,则该 3 点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 10 9 问题 2:三边,的长都是整数,且,如果,则这ABCabcabcbm * mN 样的三角形共有_个. 2 ) 1(mm 问题 3:三边长均为整数,且最大边长为的的个数为_. 3611ABC 问
2、题 4:钝角三角形的三边长均为正整数,且组成公差为 3 的等差数列,这样的三角形有_个. 5 【拓展探究拓展探究】 探究 1: 若集合, ,且,则满足条件 |20Pxxa |30Qxxb, a bN1PQN 的整数对的个数为_.( , )a b 变式:已知集合 A,且只有 5 个整数解,则的取axxxBxxx223|,15352|BAa 值范围是_ . 6a 2 11 探究 2:若,且不等式的解集中有且只有三个整数,则所有满足条Za06 2 axx 件的值之和为_. 21a 探究 3:已知集合 A,且只有 5 个整数解,则的axxxBxxx223|,15352|BAa 取值范围是_ . 6a
3、2 11 探究 4:关于的不等式组的解集为.x ax ax 22 1 P (1)若集合,求实数的取值范围;32xxQQP a 20 , (2)若集合中有且只有两个整数,求实数的取值范围.Pa 探究 5:关于的不等式恰有 3 个整数解,求实数的取值范围. x23 axaa 变式:设全集,函数的定义域为,集合RU ) 1)(11lg()(aaxxfA ,恰好有两个元素,求实数的取值范围. 1cosxxBBACu)(a02a 探究 6:已知是实数,函数ba,)(1)(Rxxbaxxf (1) 若, 且函数在内存在最大值, 试在平面直角坐标系内, 求出动点2 , 2,ba)(xf, 0aObba, 运
4、动区域的面积;4 (2)若,且关于的不等式的解集中的整数恰有 2 个,试求的取值范围. 0bx0)(xf b a 2 1 , 3 2 (数形结合) 变式 1:已知函数axxxf22)(R)( x有最小值,则实常数a的取值范围是 变式 2:函数在上有最大值,则实数的取值范围是_1)(xaxxf, 0a 探究 7: (2009,天津)关于 x 的不等式的解集中的整数恰有 3 个,则实数 a 的取值范围是 22 ) 1-2(axx _. 2549 916 a 解法解法 1.1 令,易知当 a 2 21g xx 2 h xax 0时,不合 题意 分别作出函数图象, 见图 1.1; 由题意, 要使 g
5、xh x 成立, 则函数 的图象应在函数的图象上方 yh x yg x 又,由图象得到,原不等式解集中的 3 个 1 ( )0 2 g 整数只能为 1,2,3; 则有不等式组成立,解得 g(1)(1) g(2)(2) g(3)(3) g(4)(4) h h h h 2549 916 a 解法解法 1.2 当 x=0 时,对任意实数 a,不等式不成立,则有 2 2 21xax 2 2 2 21 1 2 x a xx 令,当时,单调递增,且; g xa 2 1 2f x x 0x yf x4y 当时,单调递减,且;当时,单调递增,且; 1 0 2 x yf x0y 1 2 x yf x04y 其图
6、象如图 1.2 所示,那么要使原不等式的解集中含有 3 个整数,则由函数图象得到,(3)(4)faf 即 2549 916 a 解法解法 1.3 易知当 a0 时, 原不等式的解集非空 对不等式两边同时 开平方, 得到 由得令21xa x0x 1 2a x , 1 2f x x . 由于函数在每个单调区间内 g xa 1 ( )2h x x 都是增函数,则 的图象如图 1.3 所示 ( )f xh x 因此,当原不等式的解集中恰有 3 个整数时,应满足条件 ,解得(3)(4)gag 2549 916 a 变式 1:(2013 年连云港市高三数学期末)关于 x 的不等式 x2ax+2a0 的解集
7、为 A,若集 合 A 中恰有两个整数,则实数 a 的取值范围是 . 125 1,)(,9 33 参数分离:当时,此时,令,则2x 2 2 x x a02 xt4 4 t ta 通过画图可得:;当时,同理可得 9 , 3 25 a2x 3 1 , 1a 并且此方法可用于研究 3 个、4 个或者多个整数解均可研究 解 法解 法 2.1 原 不 等 式 可 转 化 为 令 2 2xa x, 2 ( )f xx ,( )2g xa x 在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图 2.1, 当时,设不等式解集为 A,且 A=0a 当时,首先,易知当时,函数0a 08a( )yg x 的图象始终在 函数图象
8、下方因此,要使函数图象在( )yf x( )yg x 上方时对应的 横坐标的取值集合 A 中有 2 个整数, 则; 同时,当时,直线和抛物线相切于点由图象知,8a 8a (4,16) 当时,为解集 A 中的一个整数那么另一个整数则为 3 或 5,即有: 或,由此可8a 4x 3 5 A A 3 5 6 A A A 解得:; 25 9 3 a 当时,由图象知,那么解集 A 另一个整数0a 0A为 1 或中的 一个同理有:或, 解得综 1 1 A A 1 1 2 A A A 1 1 3 a 上 ,满 足 条 件的实数 a 的取值范围是或 1 1 3 a 25 9 3 a 解法解法 2.2 原不等式
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