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1、 专题 5.4:几类基本不等式的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1:(1)若正数满足,则的取值范围为_.ba,3baabab (2)若正数满足,则的取值范围为_.ba,3baabba (3)当时,函数的最大值为_. 2 3 x 32 8 x xy (4)当时,函数的最大值为_. 2 1 0 x)21 ( 2 1 xxy 探究 2:设,则的最小值为_. 0, 0yx822xyyxyx2 变式 1:设,则的最小值为_40, 0yxxyyx22yx2 解:将等式变形为,则2 21 xy 4) 21 )(2( 2 1 2 xy yxyx 变式 2:设,则的最大值为_ Ryx,14 22 xyyxyx
2、210 5 2 变式 3:设,则的最大值为_ Ryx,13 22 xyyxyx 2 11 20 探究 3:(1)设为正实数,满足,则的最小值为_.zyx,032zyx xz y2 (2)若的内角满足,则的最小值是_.ABCCBAsin2sin2sinCcos (3)若已知,则的最小值为 .0,cba bcab cba 2 222 解:时可取得函数的最小值,此时 bcab bcab bcab cbba bcab cba 2 122 2 )1 ( 2 2222222 ,此时,最小值为12 5 1 5 52 拓展:设是不全为零的实数,求的最大值.wzyx, 2222 2 wzyx zwyzxy 探究
3、 4:(1)已知且,则的最小值为_;0, 0yx12yx yx 11 (2)若 A,B,C 为ABC 的三个内角,则的最小值为 ; 4 A 1 BC (3)已知,则的最小值为_04x 41 4xx (4) 已知各项为正数的等比数列满足 若存在两项使得, 则 n a 567 2aaa nm a ,a mn aa 1 2 2a nm 41 的最小值为 探究 5:若是与的等比中项,则的最大值为_ ab21b21 ba ab 2 2 4 2 变式 1:已知,则的最大值为_ 0a0b1 2 2 2 b a 2 1ba 4 23 变式 2:已知,则的最大值为_ 0a0b12 22 ba 2 1ba 1(注
4、意这里基本不等式等号成立的条件不满足) 探究 6:若,且,则的最小值是 0,0xy 22 1xy 22 11 xy xy 22 两次利用基本不等式,两次取得等号的条件能同时具备; 变式 1:设,且,则函数的最小值为 xy、( 2 2) ,1xy 22 49 49xy 12 5 易得 2222 22 2222 4 99 47294 49 49493794 yxxy xyxyxy ,设 22 94txy,则 22 2 94txy12(当且仅当 22 94xy时等号成立) ,则原式 723512 1 37375 t tt (当且仅当12t 时 等号成立) ; 变式 2:若,且,则的最小值为 ; 0,
5、0ab 11 1 21abb + + 2ab+ 2 31 2 + (双换元) 变式 3:设是正实数,且,则的最小值是_., x y1xy 22 21 xy xy 1 4 方法 1:考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值; 方法 2:考虑整体替换的方法,分母的和为常数 12 1 )2( 2 ) 1( ) 12( 12 22 22 22 22 xyyx y xy x yx yxyx y y x x 方法 2:设,则,所以2xs1yt 4st = 22 21 xy xy 22 (2)(1)41 (4)(2) st st stst ,因为 4141 ()()6()2st
6、stst 411 411 49 ()()(5) 444 ts st ststst 所以 22 1 214 xy xy 探究 6:设为正实数,.yx, 22 yxyxaxypb yxc (1)如果,则是否存在以为三边长的三角形?请说明理由;1pcba, (2)对任意的正实数,试探索当存在以为三边长的三角形时的取值范围.yx,cba,p 解析:(1)时,此时直角三角形;1p (2)由题可知: 综上可得:ca 3232p 探究 7:已知实数满足,则最小值为 . 12, ,x y z32,4xyzxyz|xyz 变式 1:已知,且,求的最大值为_Rzyx,1zyx3 222 zyxxyz 变 式 2:
7、 已 知 实 数满 足 方 程及,则的 最 小 值 321 ,xxx1 3 1 2 1 321 xxx3 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 xxx 3 x 是 . ,1 3 1 - 2 1 321 xxx3 3 1 - 2 1 2 3 2 2 2 1 xxx 利用柯西不等式:) 3 1 3( 2 3 ) 2 1 )( 2 1 1 () 2 1 2 2 1 () 2 1 ( 2 3 2 2 2 1 2 21 2 21 xxxxxxx 可解得的取值范围是 3 x 3 , 11 21 另解:消去,把视为主元,根据方程有解,易得的取值范围 1 x 2 x 3 x 探究 8:在平面直角坐标系 xoy 下,已知双曲线() ,右焦点为 F,右准线为 l,点 A,Bayx 22 0a 是右支上两点, ,线段 AB 的中点 M 在右准线上的射影点为,则的最大值120AFB M AB MM 为 . 6 6 变式:函数( )f x满足 1( ) ln 1( ) f x x f x ,且 12 ,x x均大于e, 12 ()()1f xf x, 则 12 ()f x x的最小值 为 . 7 5 【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?
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