专题6.10:数列中存在性问题的研究与拓展.pdf
《专题6.10:数列中存在性问题的研究与拓展.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题6.10:数列中存在性问题的研究与拓展.pdf(6页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、 专题 6.10:数列中存在性问题的研究与拓展 【课本溯源】证明:1,3 不可能是一个等差数列中的三项2 【探究拓展】 探究一:探究一: 探究 1:设等差数列 n a的前n项和为 n S ,且 5133 349aaS, (1)求数列 n a的通项公式及前n项和公式; (2)设数列 n b的通项公式为 n n n a b at ,问:是否存在正整数 t,使得 12m bbb, , (3)mmN, 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由 【解】 (1) 2 21, nn anSn (2),要使得成等差数列,则 21 21 n n b nt 12 , m b b b 21
2、2 m bbb 即: 即: 3121 2 3121 m ttmt 4 3 1 m t , 只能取 2,3,5 当时,;当时,;当时,,m tN t2t 7m 3t 5m 5t 4m 【注】 “存在”则等价于方程有解,本例利用整除性质解决 探究 2:设是公差不为零的等差数列,为其前n项和,且 n a n S 2222 23457 ,7aaaaS (1)求数列的通项公式及前n项和; n a n S (2)试求所有的正整数,使得为数列中的项w.w.w.k.s.5.u.c.o.m m 1 2 mm m a a a n a 【解】 (1)设公差为,则,由性质得,因为,d 2222 2543 aaaa 4
3、343 3 ()()d aad aa0d 所以,即,又由得,解得,,所 43 0aa 1 250ad 7 7S 1 76 77 2 ad 1 5a 2d 以的通项公式为,前 n 项和 n a27 n an 2 6 n Snn (2) =,若其是中的项,则, 1 2 mm m a a a (27)(25) 23 mm m n a (27)(25) 27 23 mm n m 令,则=, 23tm 1 2 mm m a a a (4)(2)8 627 tt tn tt 即: 所以 为 8 的约数 因为 是奇数,所以 可取的值为, 8 21nt t ttt1 当,即时,;当,即时,(舍去) 1t 2m
4、 5n 1t 1m 4n 所以满足条件的正整数2m 【注】不仅可以利用整除性质解决,也可利用奇偶性分析 探究 3:已知数列an中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 1 () 2 n n n aa S (1)求 a1; (2)证明数列an为等差数列,并写出其通项公式; (3)设,试问是否存在正整数 p,q(其中 1pq),使 b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出 1 lg 3 n n n a b 所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由 【解】 (1)令 n=1,则 a1=S1=0 11 1() 2 aa (2)由,即, 1 () 2 n n n aa S 2 n n na S 得
5、 1 1 (1) 2 n n na S ,得 1 (1) nn nana 于是, 21 (1) nn nana +,得,即 21 2 nnn nanana 21 2 nnn aaa 又 a1=0,a2=1,a2a1=1, 所以,数列an是以 0 为首项,1 为公差的等差数列 所以,an=n1 (3)解法 1:假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq成等差数列,于 是, 2 1 3 33 pq pq 时,0,故数列( )为递减数列,2p 11 2(1)224 333 ppp ppp 2 3p p 2p 时,0,故数列()为递减数列,3q 11
6、 112 11 ()() 33 333 qqq qqq 1 3 3q q 3q ,即时, max 2 4 () 9 3p p max 14 () 39 3q q 2,3pq 2 1 3 33 pq pq 又当时,故无正整数 q 使得成立3p 2 2321 2793 3p p 2 1 3 33 pq pq 解法 2:同上有,且数列( )为递减数列, 2 11 33 33 pq pq 2 3p p 2p 当时,成立;当时,2p 2 41 93 3p p 3p 2 2321 2793 3p p 因此,由得,此时 2 1 3 3p p 2p 3q 【注】在利用“范围”控制正整数的值时,常用求值域的方法
7、:单调性本例蕴含分类讨论思想 探究二:探究二: 探究 1:等差数列的前项和为 n an 13 1293 2 n SaS , (1)求数列的通项与前项和; n a n an n S (2)设,求证:数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列() n n S bn n N n b 【解】 (1)由已知得, 1 1 21 3393 2 a ad , 2d 故212(2) nn anSn n , (2)由(1)得2 n n S bn n 假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,则 n b pqr bbb, ,pqr, , 2 qpr bb b 即 2 (2)(2)(2)qpr 2 ()(2) 20qp
8、rqpr ,pqr N , , 2 0 20 qpr qpr , , 2 2 ()0 2 pr pr prpr , 与矛盾pr 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列 n b 【注】在反证法中利用有理数性质产生矛盾 探究 2:已知数列满足:,数列满足: n a 1 1 1 3(1)2(1)1 , 211 nn nn aa a aa 1 0(1) nn a an n b 22 1 (1) nnn baan (1)求数列,的通项公式; n a n b (2)证明:数列中的任意三项不可能成等差数列 n b 【解】 (1)由题意可知, 令 ,则 22 1 2 1(1) 3 nn aa 2 1 nn
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 专题 6.10 数列 存在 问题 研究 拓展
链接地址:https://www.31doc.com/p-4125580.html