专题6.1:数列的子数列问题的研究与拓展.pdf
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1、 专题 6.1:数列的子数列问题的研究与拓展 【问题提出】 问题 1: 已知数列满足, 求证 : 数列为等差数列的充要条件是; n a)( 12 * 1 Nnnaa nn n a1 1 a 问题 2:已知正项数列满足,求证:数列为等比数列的充要条件是 n a)(2 *12 1 Nnaa n nn n a ;2 1 a 【探究拓展】 探究 1: 若数列为公差为的等差数列,试探究数列为等差数列的充要条件,并加以证明 ; 1 nn aad n a 探究 2:若正项数列满足:数列为公比为的等比数列,试探究数列为等比数列的充 n a 1 nn aaq n a 要条件,并加以证明. 思考:已知数列an满足
2、,an+1+ an4n3(nN*) (1)若数列an是等差数列,求 a1的值; (2)当 a12 时,求数列an的前 n 项和 Sn; 解:(1)若数列an是等差数列,则 an a1+ (n1)d,an+1 a1 + nd 由 an+1+ an4n3,得(a1+nd) + a1+(n1)d 4n3,即 2d4,2a1d43, 解得,d2,a1 1 2 (2)由 an+1+ an4n3,得 an+2 + an+14n + 1(nN*)两式相减,得 an+2an4 所以数列a2n-1是首项为 a1,公差为 4 的等差数列 , 数列a2n是首项为 a2,公差为 4 的等差数列,由 a2 + a11,
3、a12,得 a21 所以 an2n, n为奇数, 2n5, n为偶数) 当 n 为奇数时,则 an2n,an+12n3 所以 Sna1+a2+an(a1+a2)+(a3+a4)+ +(an-2+an-1)+an 1+9+(4n11)+2n 2n23n+ 5 2 当 n 为偶数时,Sna1+a2+an(a1+a2)+(a3+a4)+ +(an-1+an) 1+9+(4n7) 2n23n 2 所以 Sn 2 2 235 2 23 2 nn n nn n , 为奇数, ,为偶数 总结方法: (1)通过消项法得到子数列的特征; (2)求出各子数列的通项公式; 探究 3:数列 n a满足 1 ( 1)2
4、1 n nn aan ,则 n a的前60项和为_;_ 4 n S , 1 ( 1)21 n nn aan 1 21 ( 1)21 n nn aan ,即, 2 1 ( 1)( 1)( 1) (21) nnn nn aan 1 ( 1)( 1) (21) nn nn aan , 2 21 ( 1) (21) n nn aann 1 31 23( 1)(21) n nn aann , 123 442( 1)n nnnn aaaan 4342414 166 nnnn aaaan 2 4 1 (10 166)82 2 n Snnnn 思考 1:数列满足(为常数),求的通项公式. n a 11 ,(
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