专题6.19:数列方程问题的研究与拓展.pdf
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1、 专题 6.19:数列方程问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1:(1)已知数列an的前 n 项和 Sn满足:SmSnSmn,且 a11.那么 a10 . (2)已知数列an的前 n 项和 Sn满足:,且 a1=2.那么 a10 .= mnm n SSS (3)已知数列中,若对任意的正整数 m 和 n(nm)满足:,则 n a 12 1,0aa 22 nmn mn m aaaa . 119 a 参考答案:1. 1 2.512 3.-1 探究 2:已知数列an,bn满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时都有 ai+bj=ak+bl,则的值是
2、 2011 1 1 () 2011 ii i ab 变式 1 已知数列an,bn满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时都有 ai- bj=ak-bl,则的值是 1 1 () n ii i ab n 变式 2 数列an,bn满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时都有 aibj=akbl, 记 cn=,则cn的通项公式为 112233 ()()()() n nn abababab 探究 3:已知数列的前三项分别为,且数列前项和满 n a 1 5a 2 6a 3 8a n an n S 足,其
3、中为任意正整数求数列的通项公式. 2 22 1 ()() 2 n mnm SSSnm ,m n n a n a 解:令,令,1,2nm 32444 1 ()1,29,10 2 SSSSa1m 2 122 1 ()(1) , 2 nn SSSn 令,2m 2 224 1 ()(2) , 2 nn SSSn 42 221 23262(2)2, 2 nnn SS aSSnnn 又符合,不符合,22,(3) n ann 2 6a 1 5a 5,(1) 22,(2) n n a nn 变式:设数列的各项都为正数,其前项和为,对于任意正整数, n an n S,m n 恒成立 22 2(1)1 m nmn
4、 SaS (1)若,求及数列的通项公式; 1 1a 234 ,a a a n a (2)若,求证:数列是等比数列 (注重对条件的功能性分析) 4212 (1)aa aa n a 解:(1)由条件,令,得1mn 222 12(1)SaS 则, 2 222 (1)2(1)SaS 22 12Sa 21 1aa 1 1a 2 2a 令,得则1,2mn 324 12(1)SaS 2 334 (4)4(4)aaa 令,得则2,1mn 342 12(1)SaS 2 34 (4)8aa 解得.得令,得 34 4,8aa 22 12(1) m nmn SaS 1m 122 12(1) nn SaS 令,得()
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