专题7.2:三角函数定义在解析几何中的应用研究与拓展.pdf
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1、专题 7.2:三角函数定义在解析几何中的应用研究与拓展 【问题提出】 问题 1:已知,均为正数,满足,xy, 4 2 sincos xy 22 2222 cossin10 3()xyxy 则的值为_. x y 3 问题 2:如图,两个圆形飞轮通过皮带传动,大飞轮的半径为(为常数) ,小飞轮的半径为, 1 Or2r 2 Or .在大飞轮的边缘上有两个点, 满足,在小飞轮的边缘上有点设大飞rOO4 21 AB 3 1 ABOC 轮逆时针旋转一圈,传动开始时,点,在水平直线上mBC 21O O (1)求点到达最高点时,间的距离;AAC (2)求点,在传动过程中高度差的最大值来源BC : 【分析】把
2、A 看作主动点,C 为从动点,相同时间内两个飞轮传动的皮带长度相等,可以得到两个圆上的 圆心角的大小关系要求点,在传动过程中高度差,建立坐标系较方便BC 【解答】 (1)以为坐标系的原点,所在直线为轴,如图所示建立直角坐标系 1 O 12 OOx 当点 A 到达最高点时,点 A 绕 O1转过,则点 C 绕 O2转过 6 3 此时 A(0,2r) ,C 93 (,) 22 rr 22 93 ()(2)252 3 22 ACrrrr (2)由题意,设大飞轮转过的角度为 , 则小飞轮转过的角度为 2, 其中0,2 此时 B(2r, 2r) , C(4r rcossincos2,r A O Z O Z
3、 C Z B Z 1 2 x y ) sin2 记点高度差为,则,B Cd|2 sinsin2 |drr 即2 |sinsincos|dr 设,( )sinsincosf ,则 0,2( )(1cos )(2cos1)f 令,得或 1( )(1cos )(2cos1)0f 1 cos 2 则,0 或 2 2 3 4 3 列表: 0 2 (0,) 3 2 3 24 (,) 33 4 3 4 (,2) 3 2 ( )f +00+ ( )f 0Z 极大值 f() 2 3 极小值 f( ) 4 3 Z0 当 时,f()取得极大值为;当 时,f()取得极小值为 2 3 3 3 4 4 3 3 3 4 答
4、:点 B,C 在传动中高度差的最大值 max 3 3 2 dr 本题主要考查弧度制的定义,三角函数的定义并结合导数来考虑函数的最值问题 对于一些不能利用三角函数常见求解方法的三角函数问题,一般可以利用导数来求其最值 【探究拓展】 探究 1:已知曲线的参数方程是 ( 为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建 1 C sin3 cos2 y x x 立极坐标系,曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上,且以逆时针次 2 C2ABC D 2 CA、B、C 、D 序排列,点的极坐标为 .A2, 3 (1)求点 的直角坐标;A、B、C 、D (2)设为曲线上任意一点,求的取值范围.P 1 C 222
5、2 PAPBPCPD 探究 2:过原点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于与,则四边形O 2 2 :1 2 x Ty,A C,B DABCD 面积的最小值为 . 3 8 探究 3:椭圆的离心率为,左顶点到直线的距离)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C 2 3 eM1 b y a x ,为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)设直线 与椭圆相交于两点,若以为5 5 4 dOClCBA,AB 直径的圆经过坐标原点,证明:点到直线的距离为定值;(3)试求面积的最小值.OABAOBS 探究 4:已知椭圆:()经过C1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 与) 1,1 ( 两点,过原
6、点的直线 与椭圆交于、 2 3 , 2 6 lCA 两点,椭圆B 上一点满足CM|MBMA (1)求椭圆的方程;C (2)求证:为定值 222 | 2 | 1 | 1 OMOBOA 【分析】 (1)待定系数法求椭圆方程;(2)求等价于求的值.在 222 | 2 | 1 | 1 OMOBOA 22 11 OAOM 求时,不要忘记讨论点 A、B、M 的特殊位置。 22 11 OAOM 【解答】 (1)将与代入椭圆的方程,得, ) 1,1 ( 2 3 , 2 6 C 1 4 3 2 3 1 11 22 22 ba ba 解得,所以椭圆的方程为3 2 a 2 3 2 bC1 3 2 3 22 yx (
7、2)由,知在线段的垂直平分线上,由椭圆的对称性知、关于原点对称|MBMA MABAB 若点、在椭圆的短轴顶点上,则点在椭圆的长轴顶点上,此时ABM 2 11 2 211 | 2 | 1 | 1 22222222 baabbOMOBOA 同理,若点、在椭圆的长轴顶点上,则点在椭圆的短轴顶点上,此时ABM 2 11 2 211 | 2 | 1 | 1 22222222 babaaOMOBOA 若点、不是椭圆的顶点,设直线 的方程为() ,ABMlkxy 0k O A B M x y 则直线的方程为设,OMx k y 1 ),( 11 yxA),( 22 yxM 由,解得, 1 3 2 3 22 y
8、x kxy 2 2 1 21 3 k x 2 2 2 1 21 3 k k y 所以,同理可得, 2 2 2 1 2 1 22 21 )1 (3 | k k yxOBOA 2 2 2 2 )1 (3 | k k OM 所以2 )1 (3 )2(2 )1 (3 21 )1 (3 21 | 2 | 1 | 1 2 2 2 2 2 2 222 k k k k k k OMOBOA 综上,为定值 222 | 2 | 1 | 1 OMOBOA 2 【 反 思 】 对 于 第 ( 2) 小 题 也 可 以 设 点 法 来 处 理 , 即 设 点 A, B()OAcos ,OAsin , 分别代入椭圆方程即
9、得结果.此法是运用了三角函数中的点的表示或者()() 22 OBcos,OBsin 说是极点在原点的极坐标表示法,同时免于了讨论. 变式 1: 在平面直角坐标系中, 已知,若三点按顺时针方向排列构成等边三角形xOy)3 , 4(),0 , 0(BACBA, ,且直线与轴交于点ABCBCxD (1)求的值;(2)求点的坐标CADcosC 本题本题 2 问也可以利用矩阵变换的方法完成问也可以利用矩阵变换的方法完成 变式 2:已知椭圆的离心率,一条准线方程为 22 22 :10 xy Cab ab 6 3 e 3 6 2 x (1)求椭圆的方程;C (2)设为椭圆上的两个动点,为坐标原点,且,G H
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- 专题 7.2 三角函数 定义 解析几何 中的 应用 研究 拓展
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