专题7.32:圆锥曲线中弦张直角问题的研究与拓展.pdf
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1、专题 7.32:圆锥曲线中弦张直角问题的研究与拓展 【课本溯源】 (1)直线与抛物线相交于,两点,求证:.2yx 2 2yxABOAOB (2)已知直线与抛物线交于,两点,且(为坐标原点) ,求的值.yxb 2 2xyABOAOBOb 【问题提出】 问题 1:直角顶点为坐标原点的圆锥曲线中弦张直角问题 问题 2:直角顶点为曲线顶点的圆锥曲线中弦张直角问题 问题 3:直角顶点为曲线上不同于顶点的任一点的圆锥曲线中弦张直角问题 【探究拓展】 探究 1 假设过点的直线 与抛物线相交于,两点,则.20p,l 2 2ypxABOAOB 证明:设直线 的方程为:,由题意显然.联立直线 与抛物线得:lxmy
2、t0t l .由韦达定理有:,. 2 220ypmypt 12 2yypm 12 2y ypt 22 121212121212 1OA OBx xy ymytmyty ymy ymt yyt 又点在直线 上,故,从而20p,l2tp . 所以, 2 222 12222220OA OBmptmtpmttptppp OAOB 探究 2 直线 与抛物线相交于,两点,则的充要条件为直线 过点.l 2 2ypxABOAOBl20p, 变式 2.1 直线 与椭圆相交于,两点, 则的充要条件是椭圆中心到直l 22 22 10 xy ab ab ABOAOBO 线 的距离.l 22 ab d ab 变式 2.
3、2 直线 与双曲线相交于,两点,则l 22 22 100 xy a,b ab AB (1)当时,的充要条件是双曲线中心到直线 的距离;0baOAOBOl 22 ab d ba (2)当时,不可能有.0abOAOB 探究 3 直线 与抛物线交于,两点,当(为坐标原点)时,作,l 2 20ypx pABOAOBOOMAB 则点的轨迹是一个圆(去掉原点) ,轨迹方程为.MO 2 22 0xpypx 变式 3.1 直线 : 与椭圆交于,两点,则(为坐标原点) ,lykxm 22 22 10 xy ab ab ABOAOBO 作, 则点的轨迹是一个以为圆心, 以为半径的一个圆, 轨迹方程为.OMABMO
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