专题7.31:卡西尼卵形线的研究与拓展.pdf
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1、专题 7.31:卡西尼卵形线的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1:曲线 C 是平面内与两个定点和的距离的积等于常 1( 1,0) F 2(1,0) F 数的点的轨迹.给出下列三个结论:) 1( 2 aa 曲线 C 过坐标原点; 曲线 C 关于坐标原点对称; 若点 P 在曲线 C 上,则的面积不大于 12 FPF 2 1 2 a 其中正确命题的序号为_ 背景展示背景展示 在数学史上, 到两个顶点 (叫做焦点) 的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线 (Cassini Oval) ,乔凡尼多美尼科卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师,他是第一个发现 土星的四个卫星的人.1675
2、年,他发现土星光环中间有条暗缝,这就后来以他名字命名的卡西尼环缝.他猜 测,光环是由无数小颗粒构成,两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的 贡献,当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名.卡西尼卵形线是 1675 年他在研究土星 及其卫星的运行规律时发现的. 探究 2: 设两定点为,且,动点满足,取直线作为 12 ,F F 12 2FF P 2 12 (0)PF PFaa 且为定值 12 FF 轴,的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,设,则 x 12 FFy( , )P x y 22222 (1)(1)xyxya 整理得: 222222 ()2()1xyx
3、ya 解得: () 2222 (1)4yxxa 2 11axa 于是曲线的方程可化为()C 2222 (1)4yxxa 2 11axa 对于常数,可讨论如下六种情况:0a (1)当时,图像变为两个点;0a 12 ( 1,0),(1,0)FF (2)当时,图像分为两支封闭曲线,随着的减小而分别向点收缩;01aa 12 ,F F (3)当时,图像成 8 字形自相交叉,称为双纽线;1a (4)当时,图像是一条没有自交点的光滑曲线,曲线中部有凹进的细腰;12a (5)当时,与前种情况一样,但曲线中部变平;= 2a (6)当时,曲线中部凸起。2a 变式 1:若将“两定点”之一变为“定直线” ,那么距离之
4、比为定值的动点轨迹是什么? 变式 2:若将“两定点”之一变为“定直线” ,那么距离之和为定值的动点轨迹是什么? 变式 3:到定点的距离与到定直线的距离的倍之和为定值的定点轨迹是什么?k 变式 4:到定点的距离与到定直线的距离之差(的绝对值)为定值的定点轨迹是什么? 变式 5:到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么? 拓展 1:在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)求点 P 的轨迹 C; (2)
5、设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。 解:(1)设点 P 的坐标为(x,y) ,则3x-2 22 4 (3)dxy 由题设 当 x2 时,由得 22 1 (3)6, 2 xyx 化简得 22 1. 3627 xy 当时 由得2x 22 (3)3,xyx 化简得 2 12yx 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧 22 1: 1 3627 xy C 部分 与 抛物线在直线 x=2 的左侧部分(包括它与直 2 2: 12Cyx 线 x=2 的交点)所组成的曲线,参见图 1 (2)如 图 2 所示,易知直线 x=2 与,的交点都是 A(2,) ,
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