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1、专题 7.4:平行线间的一类三角函数问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究:、是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线 1 l 2 l 3 l (1)如果与间的距离是 1,与间的距离也是 1,可以把一个正三角形的三顶点分别放在, 1 l 2 l 2 l 3 lABC 1 l ,上,求这个正三角形的边长; 2 l 3 lABC (2)如图,如果与间的距离是 1,与间的距离是 2,能否把一个正三角形的 1 l 2 l 2 l 3 lABC 三顶点分别放在,上,如果能放,求和夹角的正切值并求该正三角形边长; 1 l 2 l 3 lBC 3 l 如果不能,说明为什么? (3) 如果边长为 2 的正三角形
2、的三顶点分别在,上, 设与的距离为,与的距离为ABC 1 l 2 l 3 l 1 l 2 l 1 d 2 l 3 l ,求的范围? 2 d 12 dd 解:不妨设 123 ,.Al Bl Cl (1)到直线的距离相等,过的中点,,A C 2 l 2 lACM 2 .lAC 边长22.ACAM (2)设边长为与的夹角为,由对称性,不妨设, , aBC 3 l060 两式相比得:sin2,asin(60)1,a sin2sin(60), sin3cossin ,2sin3cos , 3 tan, 2 边长 3 sin, 7 22 21 . 33 7 a (3) 12 dd4sin(60)sin 3
3、1 4(cossin )sin 22 A B C D E F J K L G O R I H TM = = 31 cos2 2(sin2) 22 2sin(230 ) 1. , 060 30230150 , 1 sin(230 )1 2 12 0,1 .dd 变式 : 如图,某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为 4m、ABCDA 12 ll、 8m,河岸线与该养殖区的最近点的距离为 1m,与该养殖区的最近点的距离为 2m (1)如图甲, 1 lD 2 lB 养殖区在投食点的右侧,若该小组测得,请据此算出养殖区的面积;(2)如图乙,养殖区A60BAD 在投食点的两侧,
4、试在该小组未测得的大小的情况下,估算出养 殖区的最小面积ABAD 解:(1)如图甲,设与所成夹角为,则与所成夹角为,AD 1 lAB 2 l60 对菱形的边长“算两次”得,解得,ABCD 36 sin sin 60 3 tan 5 所以,养殖区的面积; 6 分 2 2 2 31 sin609 1sin6042 3 (m ) sin tan S (2)如图乙,设与所成夹角为,则与所成夹角为,AD 1 l 120 180BAD ,AB 2 l180 对菱形的边长“算两次”得,解得,所以养殖区的面积ABCD 36 sin sin 180 sin tan 2cos 由得 2 3 sin sin S 2
5、 1 9 1sin tan 54cos 9 sin 2 54cos5cos4 990 sin sin S ,经检验得,当时,养殖区的面积 4 cos 5 4 cos 5 2 min=27(m ) S 拓展 1: 如图,已知矩形 ORTM 内有 5 个全等的小正方形,其中顶点 A、B、C、D 在矩形 ORTM 的四 条边上.若矩形 ORTM 的边长 OR=7,OM=8,试求小正方形的边长. 1 l 2 l D A B C 1 l 2 l D A B C (图甲)(图乙) A B C D E F J K L G O R I H TM 解法 1:因为以 AI、AD 的方向分别为轴、轴的正向建立平面直
6、角坐标系,设小正方形的AEAF xy 边 长 为得 A( 0, 0)、.设 直 线 MDT 的 斜 率 为 k, 则a(2 ,)Baa(3 , )Ca a(0,2 )Da ,.由2 (0)MDTykxa k:(21)OBR ykxak 1 :MAO yx k 13 : a TCR yxa kk 此可得直线 MDT、OBR 之间的距离是,直线 MAO、TCR 之间的距离是,由 2 (23) 8 1 ak k 2 3 (1) 7 1 1 a k k 此可解得,,,即边长为. 1 2 k 5a 5 解法 2:设锐角MAD=,设小正方形的边长为,则由右图可得a 相减得消去解得边长为. 7sin3cos
7、 , 8cos2sin2cos . aa aaa 1sin , 2cos . a a 5a 解法 3:可设,由,可设),(baAE AFAE ),(abAF 由(1)可得:,)23 ,23(abbaBD)3,3(abbaAC 所以,所以,所以小正方形的边长为 73 823 ba ab 2 1 b a 5 拓展 2:在平面直角坐标系 xOy 中,设,B,C 是函数图象上的两点,( 1 1)A , 1 (0)yx x 且ABC 为正三角形,则ABC 的高为_. 2 解法 1:设正三角形 ABC 的边长为 a,B(-1+acos(+30),1+ asin(+30), C(-1+acos(30),1+
8、 asin(30) ,由 B、C 在 y=上,所以 1 x , 1cos(30 )1sin(30 )1 1cos(30 )1sin(30 )1 (- (- aa aa 2 2 sin(260 )cos(30 )sin(30 )2 2 sin(260 )cos(30 )sin(30 )2 2 a aa a aa 两式相减得:a2cos2asimacos0,得a, 3 2 3 2 1 cossin 两式相加得:,a2sin2=4 2 sin23cos3sin4 2 a 解法 2:将直角坐标系旋转 45,则 A(0,),双曲线方程为:.2 22 2xy 设 BC 的方程为:y=kx+b,联立,消去得
9、:(1k2)x22kbxb22=0. 22 2xy ykxb ,BC 中点 D(,),而直线 AD 的方程是:. 12 2 2 12 2 2 1 2 1 kb xx k b xx k 2 1 kb k 2 1 b k 1 2yx k 所以,=,AD,BC|x1x2| 2 1 b k 2 1 2 1 kb kk 2 2 (1) 2 bk 2 2 2 1k 2 1k =,由ABC 为正三角形,所以 ADBC.k27. 2 1k 22 2 8(1)4 |1| kb k 3 2 故 AD=2. 2 2 2 1k 2 2 17 拓展 3:某个公园有个池塘,其形状为直角ABC,AB2 百米,BC1 百米90C (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、 CA 上取点 D,E,F,如图(1),使得 EFAB, , 在DEF 喂食,求DEF 面积 SDEF的最大值;EFED (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2) ,建造DEF 连廊(不 考虑宽度)供游客休憩,且使DEF 为正三角形,设求DEF 边长的最小值 A BC D E F 图 图 2图图 图 1图 F E D CB A 【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?
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