专题7.6:和圆有关的十一类轨迹问题的研究与拓展.pdf
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1、专题 7.6:和圆有关的十一类轨迹问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1:已知在中,的最大值为_ ABC ABC SbB , 2, 3 3 变式 : 函数,当时,在中,且 BC=1,若 E( )sin3cos ()f xmxx mR3m ABC( )2 3f A 为 BC 中点,则 AE 的最大值为_. 1 2 3 (或者利用向量的中线模型加以转化) 探究 2:如果圆上总存在两点到原点的距离为 1,则实数 m 的取值范围为4)2() 22 mymx( _. 变式 1:在平面直角坐标系中,若满足的点都在以坐标原点为圆心,2 为xOy)()(ykykxx),(yx 半径的圆及其内部,则实数的取值
2、范围是_ k2,2 两圆内含和内切 变式 2:若圆上至少有三个不同点到直线 :的距离为,则直线 22 44100xyxyl0axby2 2l 斜率的取值范围是_.323-2, 变式 3:在平面直角坐标系中,点,直线.设圆的半径为 1,圆心在 上. xOy0 3A,24lyx:l (1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;C1yxAC (2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.CM2MAMOCa 解:(1)切线方程为或3y 3 3 4 yx (2)命题背景:阿波罗尼奥斯圆;转化为两圆的位置关系问题处理 答案为 5 12, 0, 探究 3:平面内到 A(0,-3)的距离为 1,
3、到点 B(4,0)的距离为 2 的直线有_条. 变式:在平面直角坐标系中,若与点的距离为 且与点的距离为的直线恰有两条,xOy)2 , 2(A1) 0 , (mB3 则实数的取值范围为_m 考察圆与圆的位置关系,研究公切线的条数322 , 2)2 , 322( 探究 4:写出以,,为直径的圆的方程_.),( 11 yxP),( 22 yxQ x y B B A A O D D 变式 1:若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(-1,0)到动直线上的射影为 M,已知点 N(3,3) ,0cbyax 则线段 MN 长度的最大值为_ 变式 2:若点 G 为的重心,且 AGBG,则的最大值为 ABCC
4、sin 变 式 3: 在中 ,边 上 的 中 线和边 上 的 中 线互 相 垂 直 , 交 点 为, 则ABCACBDABCEG 的最小值为_ ACBABC tan 1 tan 1 3 2 两条中线所在直线作为两坐标轴建系 拓展:将命题“圆上任意一点对直径的张角为直角”类比到椭圆和双曲线有怎样的结论? 探究 5:点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动,且 AB2,若点 A 从(,0)移动到3 (,0),则 AB 中点 D 经过的路程为 . 单位圆2 12 变式:如图,线段的长度为 1,端点在边长不小于 1 的EFFE, 正方形的四边上滑动,当沿正方形的四边滑动一周ABCDFE, 时
5、 ,的EF 中点所形成的轨迹为,若的周长为 ,其围成的面积为MGGl,则SSl 的最大值为 拓展:若 M 点是线段 EF 上任意一点,则 M 点的轨迹是什么? A B C D E F M 探究 6:已知点与两定点的距离之比为,那么点的坐标应满足什么关系?( , )M x y(0,0), (3,0)OA 1 2 M 拓展:已知动点与两定点、的距离之比为,那么点的轨迹是什么?MAB(0) M 背景展示背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他 对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书,阿波罗尼斯圆是他 的研究成果之一
6、问题 1: 如图, 圆与圆的半径都是 1, 过动点 P 分别作圆.圆的切线 PM、 PN(M. N 1 O 2 O4 21 OO 1 O 2 O 分别为切点) ,使得试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程PNPM2 解:以的中点 O 为原点,所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 1 O 2 O 1 O 2 O (-2,0) ,(2,0) , 1 O 2 O 由已知,得 因为两圆的半径均为 1,所以PN2PM 22 2PNPM 设,则,) 1(21 2 2 2 1 POPO),(yxP 1)2(21)2( 2222 yxyx 即,所求轨迹方程为(或33)6( 22 yx33)6(
7、22 yx0312 22 xyx 问题 2: 已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C: x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切 线 长 与 |MQ|的比等于常数(0).求动点 M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线. 本小题考查曲线与方程的关系,轨迹概念等解析几何的基本思想以及综 合 运 用 知识的能力. 解:如图,设 MN 切圆于 N,则动点 M 组成的集合是 P=M|MN|=|MQ|,式中常数0.2 分 因为圆的半径|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2|ON|2=|MO|21.4 分 设点 M 的坐标为(x,y),则5 分 2 2 22 21yxyx 整理得(21)(x2+y2 )4
8、2x+(1+42)=0. 经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P.故这个方程为所求的轨迹方程. 8 分 P O1 O2 M N 当=1 时,方程化为 x=,它表示一条直线,该直线与 x 轴垂直且交 x 轴于点(,0), 4 5 4 5 当1 时,方程化为(x)2+y2=它表示圆, 1 2 2 2 2 2 2 1 31 该圆圆心的坐标为(,0),半径为12 分 1 2 2 2 1 31 2 2 问题 3:满足条件 AB 2,AC BC 的ABC 的面积的最大值是_2 问题 4: 已知点 A(2 , 0),B(4 , 0),圆,P 是圆 C 上任意一点,问是否存在常数,使得 2 2 :416C
9、xy ?若存在,求出常数;若不存在,请说明理由 PA PB 变式 1:已知点 A(2 , 0),圆,P 是圆 C 上任意一点,问:在平面上是否存在点 B,使 2 2 :416Cxy 得?若存在,求出点 B 的坐标;若不存在,请说明理由 1 2 PA PB 变式 2:已知点 A(2 , 0),B(4 , 0),圆,P 是圆 C 上任意一点,若为定值, 22 :416Cxyb PA PB 求 b 的值 拓展 1:设圆,动圆, 22 :(4)16Cxy 22 :22(8)4220 Mxyaxa ya 探究 :平面内是否存在定点,过点作圆的一条切线,切点为,过点作圆的一条切线,切点为PPC 1 TPM
10、 OCA B P y x O y xBA P C ,使无穷多个圆,满足?如果存在,求出所有这样的点;如果不存在,说明理由. 2 TM 1 2 1 2 PT PT P 拓展2:在中,点在边上,且,则实数的取值范围ABCDBC2DCBD:AB AD AC3:1kk 为 . 解:建立如图 1 所示平面直角坐标系,令,由得到:,即有,A x y3 AB AC 22 22 (1) 3 (2) xy xy ,那么点的轨迹为圆,并且得到其标准方程为 :.又由题意知, 22 8838350xyx,A x y 22 199 () 88 xy ,那么, AD k AC 22 22 (2) xy k xy ; 22
11、 2 22 44 xy k xxy 38353816 + 63663 x xx 易知为关 2 kx 于的增函数;并且,圆上点的横坐标的范围为,x 5 7 ( , ) 4 2 x 代入得到:,即. 2 25 49 (,) 99 k 5 7 ( , ) 3 3 k 拓展 3: 已知圆和点,若定点和常数满足 : 对圆上那个任意一点, 22 :1O xy( 2,0)A ( ,0)(2)B bb OM 都有,则(1) ;(2) .|MBMAb 解 : 设, 代 入, 所 以, 展 开 后 化 简 得( , )M x y|MBMA 22222 ()(2)xbyxy ,亦即. 2222222 (1)(1)(
12、42 )40xyb xb 222 22 22 424 0 11 bb xyx COx y M P T1 T2 又对圆上那个任意一点,都有成立,解得或; OM|MBMA 2 22 2 420 4 1 1 b b 1 2 1 2 b 8 2 b 又由可知,故.|MBMA0 11 22 b , 拓展 4:在轴正半轴上是否存在两个定点、,使得圆上任意一点到、两点的距离xAB 22 4xyAB 之比为常数?如果存在,求出点、坐标;如果不存在,请说明理由. 1 2 AB 解:假设在轴正半轴上是否存在两个定点、,使得圆上任意一点到、两点的距离xAB 22 4xyAB 之比为常数,设、,其中。 1 2 ( ,
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- 专题 7.6 有关 一类 轨迹 问题 研究 拓展
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