专题8.2:立体几何中性质定理的应用研究与拓展.pdf
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1、专题 8.2:立体几何中性质定理的应用研究与拓展 【拓展探究拓展探究】 探究 1: 如图,在三棱锥中,平面已知,点,分别为,的PABCBC PABPAABDEPBBC 中点 (1)求证:平面;AD PBC (2)若在线段上,满足平面,求的值FAC/ADPEF AF FC 变式 1:如图,四棱锥中,PABCD 底面为菱形,平ABCD 0 60DAB 面底面PCD ,是的中点,为上的一点.ABCDEABGPA (1)求证:平面平面;GDE PCD (2)若平面,求的值./ /PCDGE PG GA 解:(1)证明:设菱形的边长为 1,则是的中点,ABCDEAB 0 60DAB , 2 113 12
2、cos60 424 DE 222 DEAEADDEAEDECD 平面底面,平面底面,PCD ABCDPCD ABCDCD ,平面,平面平面;DEABCDDEPCDGDE PCD (2)连接,交于,连接,则平面,平面平面,ACDEHGH/ /PCDGEPCAGDEGH ,./ /PCGH2 PGCH GAHA 变式 2:如图,长方体中,底面是正方形, 1111 ABCDABC D 1111 ABC D 是棱上任意一点,是的中点E 1 AAFCD (1)证明:;BD 1 EC A P B C D E F P A BC D E G D1 C1 B1 A1 F E D C B A (2)若 AF平面
3、C1DE,求的值 1 AE A A 变式 3: 如图,在四棱锥 PABCD 中,O 为 AC 与 BD 的交点,AB平面 PAD,PAD 是正三角形, DC/AB,DADC2AB. (1)若点 E 为棱 PA 上一点,且 OE平面 PBC,求的值; AE PE (2)求证:平面 PBC平面 PDC. 证 (1)因为 OE平面 PBC,OE 平面 PAC,平面 PAC平面 PBCPC,所以 OEPC, 所以 AOOCAEEP 因为 DC/AB,DC2AB,所以 AOOCABDC12. 所以 AE PE 1 2 (2)法一:取 PC 的中点 F,连结 FB,FD 因为PAD 是正三角形,DADC,
4、所以 DPDC 因为 F 为 PC 的中点,所以 DFPC. 因为 AB平面 PAD,所以 ABPA,ABAD,ABPD 因为 DC/AB,所以 DCDP,DCDA 设 ABa,在等腰直角三角形 PCD 中,DFPFa2 在 RtPAB 中,PBa5 在直角梯形 ABCD 中,BDBCa5 因为 BCPBa,点 F 为 PC 的中点,所以 PCFB5 在 RtPFB 中,FBa 3 在FDB 中,由 DFa,FBa,BDa,可知 DF2FB2BD2,所以 FBDF235 由 DFPC,DFFB,PCFBF,PC、FB 平面 PBC,所以 DF平面 PBC 又 DF平面 PCD,所以平面 PBC
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- 专题 8.2 立体几何 性质 定理 应用 研究 拓展
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