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1、 专题 9.2:三角测量应用题 【拓展探究拓展探究】 探究 1:以三角函数的定义为载体的三角应用题 如图,两个圆形飞轮通过皮带传动,大飞轮的半径为(为常数) ,小飞轮的半径为, 1 Or2r 2 Or .在大飞轮的边缘上有两个点,rOO4 21 AB , 满足,在小飞轮的边缘上有点 3 1 ABO 设大飞轮逆时针旋转一圈,传动开始时,C 点,在水平直线上mBC 21O O (1)求点到达最高点时,间的距离;AAC (2)求点,在传动过程中高度差的最大BC 值. 【解】 (1) 以为坐标系的原点,所在直线为轴, 如图所示建立直角坐标系 当点 A 到达最高点时, 1 O 12 OOx 点 A 绕
2、O1转过,则点 C 绕 O2转过 此时 A(0,2r) ,C 6 3 93 (,) 22 rr 22 93 ()(2)252 3 22 ACrrrr (2)由题意,设大飞轮转过的角度为 ,则小飞轮转过的角度为 2,其中0,2 此时 B(2r,2r) ,C(4r r,r) cossincos2sin2 记点高度差为,则,B Cd|2 sinsin2 |drr 即设,则 2 |sinsincos|dr( )sinsincosf0,2( )(1cos )(2cos1)f 令,得或 1则,0 或 2 ( )(1cos )(2cos1)0f 1 cos 2 2 3 4 3 列表: 0 2 (0,) 3
3、2 3 24 (,) 33 4 3 4 (,2) 3 2 ( )f +00+ ( )f 0极大值 f() 2 3 极小值 f() 4 3 0 当 时,f()取得极大值为;当 时,f()取得极小值为 2 3 3 3 4 4 3 3 3 4 A O Z O Z C Z B Z 1 2 x y 答:点 B,C 在传动中高度差的最大值 max 3 3 2 dr 探究 2:以三角函数的图象为载体的三角应用题 如图,摩天轮的半径为 50 m,点 O 距地面的高度为 60 m,摩天轮做匀速转动,每 3 min 转一圈,摩 天轮上点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点 P 距离地
4、面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 85 m? (3)求证:不论 为何值,是定值.t)2() 1()(tftftf 【解】设点 P 离地面的距离为 y,则可令 yAsin(t)b. 由题设可知 A50,b60. 又 T3,所以 ,从而 y50sin(t)60. 2 2 3 2 3 再由题设知 t0 时 y10,代入 y50sin(t)60,得 sin1,从而 . 2 3 2 因此,y6050cost (t0). 2 3 (2)要使点 P 距离地面超过 85 m,则有 y6050cost85,即 cost . 2 3 2 3 1 2 于是由三角函数基本性质推得
5、t,即 1t2. 2 3 2 3 4 3 所以,在摩天轮转动的一圈内,点 P 距离地面超过 85 m 的时间有 1 分钟. 探究 3:以解三角形为载体的三角应用题 1. 在路边安装路灯,灯柱与地面垂直,灯杆与灯柱所在平面与道路垂直, 且,ABBCAB120ABC 路灯采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知,路宽米,设灯柱高C60ACD 24AD (米) ,(). ABhACB3045 (1)求灯柱的高(用表示) ;h (2)若灯杆与灯柱所用材料相同,记此用料长度和BCAB 为,求关于的函数表达式,并求出的最小值 SSS 2. 如图,将边长为 3 的正方形 ABCD 绕中心 O 顺时针
6、旋转 (0 )得到正方形 ABCD根据平面几 2 何知识,有以下两个结论: AFE; 对任意 (0 ),EAL,EAF,GBF, 2 GBH,ICH,ICJ,KDJ,KDL 均是全等三角形 (1)设 AEx,将 x 表示为的函数; (2)试确定,使正方形 ABCD与正方形 ABCD 重叠部分面积最小,并求最小面积 【解】 (1)在 RtEAF 中,因为AFE,AEx, 所以 EF,AF x sin x tan 由题意 AEAEx,BFAF, x tan 所以 ABAEEFBFx3 x sin x tan 所以 x,(0, ) 3sin 1sincos 2 (2)SAEF AEAF x()2 1
7、 2 1 2 x tan x2 2tan 3sin 1sincos cos 2sin 9sincos 2(1sincos)2 令 tsincos,则 sincos t21 2 因为(0, ),所以 ( ,),所以 tsin( )(1, 2 4 4 3 4 2 4 2 SAEF (1) (1) 9(t21) 4(1t)2 9 4 2 t1 9 4 2 1 正方形 ABCD与正方形 ABCD 重叠部分面积 SS正方形 ABCD4SAEF99 (1)18(1) 2 1 2 当 t,即 时等号成立 2 4 C B A D L K JI H G F E C D A B O A D B C L K JI
8、H G F E C D A B O A D B C 3. 如图所示, 直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD,m,m, 现用钢丝绳对这两根钢管10 3AB 3 3CD 进行加固,有两种方法: (1)如图(1)设两根钢管相距 1m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处, 形成一个直线型的加固(图中虚线所示) 则 BE 多长时钢丝绳最短? (2)如图(2)设两根钢管相距m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 3 3 处,再将钢丝绳依次固定在 D 处、B 处和 E 处,形成一个三角形型的加固(图中虚线所示) 则 BE 多 长时钢丝
9、绳最短? A E D C BF A E D C BF 图 1 图 2 【解】 (1)设钢丝绳长为 ym,则CFD (其中,) , 3 3 1 3 31tan cossincos y 0 0 2 0 tan7 22 3 3cossin sincos y 当时,即时,tan334BE min 8y (2)设钢丝绳长为 ym,则CFD (其中,)9 分 3 33 3 1cossin sincos y 0 0 0 12 33 3 tan3 3 3 22 3 33 3cossin 3 31sincoscossin sincos sincos y 令得,当时,即时12 分0y sincos 4 36BE
10、min 6 322y 4. 海岸线,现用长为 的拦网围成一养殖场,其中MAN2 ,Al,BMA CNA (1)若, 求养殖场面积最大值;BCl (2)若、为定点,在折线内选点,使,求四边形养殖场 DBACBCBClMBCNDBDDCl 的最大面积; (3)若(2)中 B、C 可选择,求四边形养殖场 ACDB 面积的最大值. 【解】 (1)设,0,0.ABx ACy xy 222 2cos222cos2lxyxyxyxy, 22 2 22cos24sin ll xy , 22 2 11cos sin22sincos 22 4sin4sin ll Sxy , 所以,ABC面积的最大值为 2 cos
11、 4sin l ,当且仅当xy时取到 (2)设,(ABm ACn mn,为定值) 2BCc(定值) ,由2DBDCla ,a = l,知点D在以B、 1 2 C为焦点的椭圆上, 1 sin2 2 ABC Smn 为定值只需DBC面积最大,需此时点D到BC的距离最大, 即D必为椭圆短轴顶点 2 222 , 4 BCD l baccS面积的最大值为 2 2 1 2 24 l c bcc , 因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 2 2 1 sin2 24 l m ncc (3)先确定点 B、C,使BCl. 由(2)知DBC为等腰三角形时,四边形 ACDB 面积最大.确定BCD 的形状,使 B、C
12、 分别在 AM、AN 上滑动,且 BC 保持定值,由(1)知 AB=AC 时四边形 ACDB 面积最大. ACDABD,CAD=BAD=,且 CD=BD= 2 l .来 S=sin 2 1 22 ADACS ACD . 由(1)的同样方法知,AD=AC 时,三角形 ACD 面积最大,最大值为 2 tan 4 22 1 l l . 所以,四边形 ACDB 面积最大值为 2 tan8 2 l . 探究 4:以立体几何为载体的三角应用题 1. 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为 半球形,按照设计要求容器的体积为 80 3 立方米,且2lr假设
13、该容器的建造费用仅与其表面积有 关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方 米建造费用为(3)c c千元,设该容器的建造费用为y千元 (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r 【解】 (I)设容器的容积为 V, 由题意知故 23 480 , 33 Vr lrV 又 3 222 4 8044 20 3 () 333 Vr lrr rrr 由于,因此所以建造费用2lr02.r 22 2 4 20 2342() 34, 3 yrlr crrr c r 因此 2 160 4 (2),02.ycrr r (2)由(1)得 3 22 16
14、08 (2)20 8 (2)(),02. 2 c ycrrr rrc 由于当3,20,cc所以 3 3 2020 0,. 22 rr cc 时 令,所以 3 20 , 2 m c 则0m 22 2 8 (2) ()(). c yrm rrmm r (1)当时,易得是函数 y 的极小值点,也是最小值点。 9 02 2 mc即rm (2)当即时,当函数单调递减,2m 9 3 2 c(0,2),0,ry时 所以 r=2 是函数 y 的最小值点,综上所述,当时,建造费用最小时 9 3 2 c2;r 当时,建造费用最小时 9 2 c 3 20 . 2 r c 2. 某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安
15、装球心为, 半径为 R(米)的球形灯泡该灯架由灯托、 灯O 杆、 灯脚三个部件组成, 其中圆弧形灯托所在圆的圆心都是、 半径都是 R(米) 、圆弧的圆EDECEBEA,O 心角都是 (弧度);灯杆 EF 垂直于地面,杆顶 E 到地面的距离为 h(米) ,且;灯脚 FA1,FB1,FC1, FD1是正四hR 棱锥 F A1B1C1D1的四条侧棱,正方形 A1B1C1D1的外接圆半径为 R(米) ,四条灯脚与灯杆所在直线的夹 角都为 (弧度) 已知灯杆、灯脚造价都是每米(元) ,灯托造价是每米(元) ,其中都为常a 3 a , ,R h a 数设该灯架的总造价为(元) y (1)求关于的函数关系式
16、;y (2)当取何值时,取得最小值?y 【解】 (1)延长与地面交于,由题意:,且EF 1 O 11 AFO , 从而, 1 tan R FO tan R EFh 1 sin R AF ., 4 4() 3tansin aRR yRha 44cos () 3sin yRaha (2)设 , 44cos ( ) 3sin f 令 2 2 4sin3 12cos ( ) 3sin f 2 (12cos )(72cos ) =0 3sin 3 当时,;时,(0,) 3 0y (,) 3 2 0y 设,其中,. 0, ) 2 ( 0 tan1 R h 0 4 ,时,最小. 0, ) 32 ( 3 y
17、答:当时,灯架造价取得最小值. 3 3. 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐(如图) ,设计要求:圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径 相等,都为r米.市场上,圆柱侧面用料单价为每平方米a元,圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价 和圆柱底面用料单价的 4 倍和 2 倍.设圆锥母线和底面所成角为(弧度) ,总费用为y(元). (1)写出的取值范围; (2)将y表示成的函数关系式; (3)当为何值时,总费用y最小? 【解】设圆锥的高为 1 h米,母线长为l米,圆柱的高为 2 h米;圆柱的侧面用料单价为每平方米 2a元,圆锥 的侧面用料单价为每平方米 4a元. (1)(0,). 4 (2)圆锥的侧
18、面用料费用为4a rl,圆柱的侧面费用为 2 2a rh,圆柱的地面费用为 2 2a r, 则 2 2 422ya rla rha r O A B C D E F A1 D C B 1 1 1 = 2 2(2)a rlhr= 1 2 22() cos r a rrhr , = 2 22(tan ) cos r a rrrr = 2 2 2(tan )3 cos a r . (3)设 2 ( )tan cos f ,其中(0,). 4 则 2 2sin1 ( ) cos f , 当 6 时, 2 2sin1 ( )0; cos f 当(0,) 6 时, 2 2sin1 ( )0; cos f 当
19、(,) 6 4 时, 2 2sin1 ( )0; cos f 则当 6 时,( )f取得最小值,则当 6 时,费用y最小. 4. 如图 : 设一正方形纸片 ABCD 边长为 2 分米,切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形,剩余为一个 正方形和四个全等的等腰三角形, 沿虚线折起, 恰好能做成一个正四棱锥 (粘接损耗不计) , 图中AHPQ ,O 为正四棱锥底面中心 (1)若正四棱锥的棱长都相等,求这个正四棱锥的体积; (2)设等腰三角形 APQ 的底角为 x,试把正四棱锥的侧面积 S 表示为 x 的函数,并求 S 的范围 【解】 (1)设正四棱锥底面边长为 y 分米,由条件知APQ 为等边三角
20、形, 又,AHPQ 3 2 AHy , 由, 即 1 2 OHy 2222 32 ()( ) 222 y OAAHOHyy2AHyAC32 2yy 得 2 2 31 y H QP D C B A x O HQ P A . 3 23 33 1122(2 2)16 3326( 31)3( 31) VyOAy 24 340 3 答:这个正四棱锥的体积是立方分米 24 340 3 (2)设正四棱锥底面边长为 y,则 tan 2 y AHx 由,即得 2AHyACtan2 2yxy 2 2 tan1 y x 即为所求表达式 2 1tan 48() 2(tan1)42 x Sy AHx x ,令,则, 4
21、2 x tan1x tantx 2 8(1) (1) t St t 由对恒成立知函数在上为减函数 2 4 1 80 (1) t S t (1,)t(1,) 平方分米即为所求侧面积的范围 02S 探究 5:以追击问题为载体的三角应用题 1. 如图,是沿太湖南北方向道路,为太湖中观光岛屿, 为停车场,km 某旅游团游览完岛ABPQ5.2PQ 屿后,乘游船回停车场 Q,已知游船以km/h 的速度沿方位角的方向行驶, 游船离开观光13 13 5 sin 岛屿 3 分钟后,因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合,立即决定Q 租用小船先到达湖滨大道 M 处,然后乘出租汽车到点
22、Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)假 设游客甲乘小船行驶的方位角是,出租汽车的速度为 66km/h (1)设,问小船的速度为多少 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达点 Q; 5 4 sin (2)设小船速度为 10km/h,请你替该游客设计小船行驶的方位角, 当角余弦值的大小是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达Q 【解】(1) 如图,作,为垂足,PNABN 13 5 sin 4 sin 5 a 在中,(km), RtPNQsinPQPN 5 5.22 13 =(km)cosPQQN 12 5.24.8 13 在中,(km) RtPNM 2 1.5 4 tan 3 PN MN a
23、 设游船从 P 到 Q 所用时间为h,游客甲从经到所用时间为h,小船的速度为 km/h,则 1 tPMQ 2 t 1 v (h),(h) 1 26 2 5 13135 PQ t 2 111 2.53.351 6666220 PMMQ t vvv 由已知得:, 21 1 20 tt 1 5112 220205v 1 25 3 v 小船的速度为km/h 时,游客甲才能和游船同时到达 25 3 Q (2)在中,(km),(km)RtPMN 2 sinsin PN PM aa 2cos tansin PN MN a aa (km) 2cos 4.8 sin QMQNMN a a 14cos 10665
24、sin5533sin PMQM t a aa 1335cos4 165sin55 a a , 2 22 15sin(335cos )cos533cos 165sin165sin t aaaa aa 令得:当时,;当时,0t 5 cos 33 a 5 cos 33 a0t 5 cos 33 a0t 在上是减函数,cosa) 2 , 0( 当方位角满足时,t 最小,即游客甲能按计划以最短时间到达a 5 cos 33 aQ 2. 已知岛南偏东方向,距岛海里的处有一缉私艇,一艘走私船正从处以海里每小时A 30A20BA30 的航速沿正东方向匀速行驶. 假设缉私艇沿直线方向以海里每小时的航速匀速行驶,
25、经过 小时截住该走vt 私船. (1)为保证缉私艇在 30 分钟内(含 30 分钟)截住该走私船,试确定缉私艇航行速度的最小值; (2) 是否存在, 使得缉私艇以海里每小时的航行速度行驶, 总能有两种不同的航行方向截住该走私船?vv 若存在,试确定的取值范围;若不存在,请说明理由. v 【解】 (1)最小速度为海里每小时;(2)131030, 315v 探究 6:以米勒问题为载体的三角应用题 1. 如图,有一壁画,最高点处离地面,最低点处离地面.若从离地高的处观赏它,则Am4Bm2m5 . 1C 离墙多远时,视角最大? 2. 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角 ABE=,ADE= (1)该小组已经测得一组 、 的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 与 之差较 大,可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时,- 最大? 【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?
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