专题七 三角函数(必修4).pdf
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1、 (2015重庆,9,中)若 tan 2tan,则( ) 5 cos(3 10) sin( 5) A1 B2 C3 D4 【答案】 C 原式 cos( 2 5) sin( 5) cos 2 ( 5) sin( 5) cos 2 ( 5) sin( 5) sin( 5) sin( 5) sin cos 5 cos sin 5 sin cos 5 cos sin 5 tan tan 5 tan tan 5 3. 3tan 5 tan 5 1(2014大纲全国,3,易)设 asin 33,bcos 55,ctan 35,则( ) Aabc Bbca Ccba Dcab 【答案】 C bcos 55s
2、in 35sin 33a, ba. 又ctan 35sin 35cos 55b, sin 35 cos 35 cb.cba.故选 C. 2(2012江西,4,易)若 tan 4,则 sin 2( ) 1 tan A. B. 1 5 1 4 C. D. 1 3 1 2 【答案】 D (先切化弦,再求 sin 2) 因为 tan 4, 1 tan sin cos cos sin sin2cos2 sin cos 2 sin 2 所以 sin 2 . 1 2 3(2012山东,7,易)若 ,sin 2,则 sin ( ) 4 , 2 3 7 8 A. B. 3 5 4 5 C. D. 7 4 3 4
3、 【答案】 D , 4 , 2 2,sin 0, 2 , cos 20, cos 2 1sin22 .1( 3 7 8) 2 1 8 又 cos 212sin2, sin2. 1cos 2 2 1(1 8) 2 9 16 sin ,故选 D. 3 4 4(2011课标全国,5,易)已知角 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在 直线 y2x 上,则 cos 2( ) A B 4 5 3 5 C. D. 2 3 3 4 【答案】 B 方法一:设角 的终边上任一点为 P(k,2k), 则 r|k|.k2(2k)25 当 k0 时,rk,5 sin ,cos . 2k 5k 2
4、5 5 k 5k 5 5 cos 2cos2sin2 . ( 5 5) 2 ( 2 5 5) 2 3 5 当 k0,所以 5cos ,故 sin ,cos ,则 sin 1 5 3 2 3 5 4 5 cos . 1 5 【答案】 1 5 考向 2 同角三角函数基本关系式及应用 同角三角函数基本关系式 (1)平方关系:sin2cos21. (2)商数关系:tan . sin cos ( 2k,k Z) 利用同角三角函数的平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后正确取舍 (1)(2013大纲全国,2)已知 是第二象限角,sin ,则 cos ( ) 5 13 A B C. D.
5、 12 13 5 13 5 13 12 13 (2)(2012辽宁,7)已知 sin cos ,(0,),则 tan ( )2 A1 B C. D1 2 2 2 2 (3)(2015贵州贵阳模拟,5)已知 sin cos ,且0. 又(cos sin )212sin cos 12 , 1 8 3 4 cos sin . 3 2 【答案】 (1)A (2)A (3)B 【点拨】 解题(1)时需注意余弦值的符号;解题(2)时注意平方关系和商数关系的交替使用;解题(3) 的关键是等式(sin cos )212sin cos .但要特别注意对 sin cos ,sin cos ,sin cos 符号的
6、关注 同角三角函数基本关系式的应用技巧 (1)弦切互化法:主要利用公式 tan 化成正弦、余弦函数; sin cos (2)和积转换法:如利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化; (3)巧用“1”的变换:1sin2cos2cos2(1tan2)sin2. (1 1 tan2) (2015福建泉州质检,11)已知0, 2 sin xcos x 0, x2 x236 25 169) 5 2 【答案】 5 2 8(2015广东广州综合测试,12)设 为锐角,若 cos ,则 sin_ ( 6) 3 5( 12) 【解析】 由于 00, ( 6) 所以 sin , ( 6)
7、 1cos2( 6) 1(3 5) 2 4 5 所以 sinsin ( 12)( 6) 4 sincos cossin ( 6) 4( 6) 4 . 4 5 2 2 3 5 2 2 2 10 【答案】 2 10 9(2014山东青岛二模,16,12 分)设函数 f(x)x22xa(0x3)的最大值为 m,最小值为 n, 其中 a0,aR. (1)求 m,n 的值(用 a 表示); (2)已知角的顶点与平面直角坐标系xOy中的原点O重合, 始边与x轴的正半轴重合, 终边经过点A(m 1,n3),求 sin的值 ( 6) 解:(1)由题意可得 f(x)(x1)21a,而 0x3, 所以 mf(1)
8、1a,nf(3)a3. (2)由题意知,角 终边经过点 A(a,a), 当 a0 时,ra,a2a22 则 sin ,cos . a 2a 2 2 a 2a 2 2 所以 sinsin coscos sin. ( 6) 6 6 2 6 4 当 a 0,| 0)个单位长度,得到 yg(x)的图象若 yg(x)图象的 一个对称中心为,求 的最小值 ( 5 12 ,0) 解:(1)根据表中已知数据,解得 A5,2,.数据补全如下表: 6 x0 2 3 2 2 x 12 3 7 12 5 6 13 12 Asin(x)05050 函数解析式为 f(x)5sin. (2x 6) (2)由(1)知,f(x
9、)5sin,得 g(x)5sin. (2x 6)(2x2 6) 因为 ysin x 的对称中心为(k,0),kZ, 所以令 2x2k,解得 x,kZ. 6 k 2 12 由于函数 yg(x)的图象关于点成中心对称,令,解得 ,kZ. ( 5 12 ,0) k 2 12 5 12 k 2 3 由 0 可知,当 k1 时,取得最小值. 6 1(2014四川,3,易)为了得到函数 ysin(2x1)的图象,只需把函数 ysin 2x 的图象上所有的点 ( ) A向左平行移动 个单位长度 1 2 B向右平行移动 个单位长度 1 2 C向左平行移动 1 个单位长度 D向右平行移动 1 个单位长度 【答案
10、】 A ysin(2x1)sin,故只需把函数 ysin 2x 的图象上所有的点向左平行移 2(x 1 2) 动 个单位长度即可得到 ysin(2x1)的图象 1 2 2 (2012浙江, 4, 易)把函数 ycos 2x1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( ) 【答案】 A 把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得y1 cos x1; 向左平移1个单位长度得y2cos(x1)1; 再向下平移1个单位长度得y3cos(x1) 令x0, 得 y30.令 x1,得
11、 y30.观察图象知,A 项正确 2 3(2013山东,5,中)将函数 ysin(2x)的图象沿 x 轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的 8 图象,则 的一个可能取值为( ) A. B. 3 4 4 C0 D 4 【答案】 B 由题意得 g(x)sin2(x 8) sin为偶函数, (2x 4 ) k,kZ, 4 2 k. 4 令 k0,得 ,故选 B. 4 方法点拨:f(x)sin(x)是偶函数k; 2 f(x)sin(x)是奇函数k; f(x)cos(x)是偶函数k; f(x)cos(x)是奇函数k. 2 4(2014江苏,5,易)已知函数 ycos x 与 ysin(2x)(00,0)
12、的部分图象如图所示, 则 f(0)的值是_ 【解析】 由题图可知 A, ,T.2 T 4 7 12 3 4 又T,2. 2 2 根据函数图象可得 2k(kZ), 3 k (kZ) 2 3 取 ,则 f(x)sin, 3 2 (2x 3) f(0)sin .2 3 6 2 【答案】 6 2 6(2014山东,16,12 分,中)已知向量 a(m,cos 2x),b(sin 2x,n),函数 f(x)ab,且 yf(x) 的图象过点和点. ( 12 , 3 )( 2 3 ,2) (1)求 m,n 的值; (2)将 yf(x)的图象向左平移 (00,A0)在一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所
13、示: x 2 3 2 2 x0 2 3 2 2 yAsin(x ) 0A0A0 (1)画函数的图象时,首先要确定函数的定义域 (2)对于周期函数,应先求出其周期,画图象时只要画出一个周期的图象,就可根据周期性画出整个 函数图象 2yAsin(x)(A0,0,x0,)的物理意义 yAsin(x)(A0,0,x0,)表示一个振动量时,A 叫作振幅,T叫作周期,f 2 1 T 叫作频率,x 叫作相位,叫作初相,叫作角速度 (1)(2013四川,5)函数 y2sin(x)的部分图象如图所示, ( 0, 2 0,0,|0,0)的方法 (1)求 A,B,已知函数的最大值 M 和最小值 m,则 A,B. M
14、m 2 Mm 2 (2)求 ,已知函数的周期 T,则 . 2 T (3)求 ,常用方法有: 代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,A,B 已知),或代入图象与直线 yb 的交点求 解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间) 五点法:确定 值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口,具体如下: ( ,0) “第一点” (即图象上升时与 x 轴的交点中距原点最近的交点)为 x0; “第二点” (即图象的 “峰 点”)为 x;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 x;“第四点”(即图象的“谷 2 点”)为 x;“第五点”为 x2. 3 2 在求 时要注意已知中所给的 的范围 (20
15、11辽宁, 12)已知函数 f(x)Atan(x), yf(x)的部分图象如图, ( 0,| 0,0)的图象的步骤 A 所起的作用是图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变化为原来的 A 倍,简称为振幅变换; 所起 的作用是图象上的每个点的纵坐标不变,横坐标变化为原来的倍,简称为周期变换; 所起的作用是 1 将函数图象左右平移个单位,简称为相位变换 | | (1)(2014浙江,4)为了得到函数 ysin 3xcos 3x 的图象,可以将函数 ycos 3x 的图2 象( ) A向右平移个单位 B向左平移个单位 4 4 C向右平移个单位 D向左平移个单位 12 12 (2)(2014安徽,11)若将
16、函数 f(x)sin的图象向右平移 个单位,所得图象关于 y 轴对称, (2x 4) 则 的最小正值是_ 【解析】 (1)ysin 3xcos 3xcos,故只需将 ycos 3x 向右平移个单位2 (3x 4) 2 12 (2)把函数 f(x)sin的图象向右平移 个单位,得到解析式 (2x 4) g(x)sinsin. 2(x) 4(2x2 4) g(x)是偶函数, 2k,kZ. 4 2 ,kZ. k 2 8 当 k1 时,的最小正值为. 3 8 【答案】 (1)C (2)3 8 【点拨】 解题(1)的关键是将函数化为 yAsin(x)的形式,注意平移变换的原则;解题(2)的关 键是根据平
17、移规律,求出平移后的解析式,利用所得函数为偶函数求解 关于三角函数的图象变换的方法 (1)平移变换 沿 x 轴平移:由 yf(x)变为 yf(x)时, “左加右减” ,即 0,左移;0,上移;k0)个单位长度后,所3 得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) A. B. C. D. 12 6 3 5 6 【答案】 B 因为 yf(x)cos xsin x3 2sin,向左平移 m(m0)个单位长度后得 f(xm)2sin,图象关于 y 轴对称, (x 3)(xm 3) 令 x0,得2, |2sin(m 3)| 从而 m2k,故 m2k或 m2k,kZ,又 m0,所以 mmin. 3
18、 2 6 5 6 6 1(2015江西九江质检,5)把函数 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保 持不变,再把所得函数图象向左平移个单位,得到的函数图象的解析式是( ) 4 Aycos 2x Bysin 2x Cysin Dysin (2x 4)(2x 4) 【答案】 A 由 ysin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象 的解析式为 ysin 2x,再向左平移个单位得 ysin 2,即 ycos 2x. 4(x 4) 2 (2015湖南长沙联考, 5)函数 f(x)Asin(x)的部分图象如图所示, (A 0, 0,| 0)的图象向右平
19、移个单位长度,所得图象 4 经过点,则的最小值是( ) ( 3 4 ,0) A. B1 C. D2 1 3 5 3 【答案】 D 函数 f(x)sin x 的图象向右平移个单位长度得函数 f(x)sin 的图象 4(x 4) 由题意得 sin 0, ( 3 4 4) k(kZ), 2 2k(kZ)又0, 的最小值为 2,故选 D. 4(2014河南郑州二模,5)函数 f(x)Asin(0)的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差 (x 6) 为的等差数列,要得到函数 g(x)Acos x 的图象,只需将 f(x)的图象( ) 2 A向左平移个单位 B向右平移个单位 6 3 C向左平移个单位 D
20、向右平移个单位 2 3 2 3 【答案】 A f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列, f(x)的最小正周期 2 T,2, 2 f(x)Asin. (2x 6) 又Asin2(x 6) 6 AsinAcos 2x, (2x 2) 只需将 f(x)的图象向左平移个单位,即得 g(x)的图象 6 点拨:解答本题的关键是根据题意求出周期 T,注意 ysin x 左右平移 个单位时,得到 ysin (x),而不是 ysin(x) 5(2015山西太原一模,7)已知 A,B,C,D 是函数 ysin(x)一个周 ( 0,0 0)的图象向左平移个单位, 得到函数 y (x 3) 3
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