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1、单元检测九 平面解析几何单元检测九 平面解析几何 (时间:120 分钟 满分:150 分) 第卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1直线l经过点(,2)和(0,1),则它的倾斜角是( )3 A30B60C150D120 答案 D 解析 由斜率公式k, 再由倾斜角的范围0, 180)知, tan120 y2y1 x2x1 12 0 3 3 ,故选 D.3 2直线kxy3k30 过定点( ) A(3,0) B(3,3) C(1,3) D(0,3) 答案 B 解析 kxy3k30 可化为y3
2、k(x3),所以过定点(3,3)故选 B. 3由直线yx1 上的一点向圆(x3)2y21 引切线,则切线长的最小值为( ) A.B2C1D372 答案 A 解析 圆的圆心为(3,0),r1,圆心到直线xy10 的距离为d2,所以由 |31| 2 2 勾股定理可知切线长的最小值为. 2 2 212 7 4一束光线从点A(1,1)发出,并经过x轴反射,到达圆(x2)2(y3)21 上一点的最 短路程是( ) A4B5C31D226 答案 A 解析 依题意可得,点A关于x轴的对称点A1(1,1),圆心C(2,3),A1C的距离为 5,所以到圆上的最短距离为 514,故选 A.212312 5 已知直
3、线xya与圆x2y24 交于A,B两点, 且|, 其中O为原点,OA OB OA OB 则实数a的值为( ) A2B2C2 或2D.或66 答案 C 解析 由|得|2|2,化简得0,即,三角OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB 形AOB为等腰直角三角形,圆心到直线的距离为,即,a2.2 |a| 2 2 6已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点, 且AB的中点为N(12,15),则E的方程为( ) A.1B.1 x2 3 y2 6 x2 4 y2 5 C.1D.1 x2 6 y2 3 x2 5 y2 4 答案 B 解析
4、 由已知条件得直线l的斜率为kkFN1, 设双曲线方程为1(a0,b0), x2 a2 y2 b2 A(x1,y1),B(x2,y2),则有Error! 两式相减并结合x1x224,y1y230 得,从而1,即 4b25a2, y1y2 x1x2 4b2 5a2 4b2 5a2 又a2b29,解得a24,b25,故选 B. 7(2018绍兴市、诸暨市模拟)如图,已知点P是抛物线C:y24x上一点,以P为圆心,r 为半径的圆与抛物线的准线相切,且与x轴的两个交点的横坐标之积为 5,则此圆的半径r 为( ) A2B53 C4D43 答案 D 解析 设圆与x轴的两个交点分别为A,B, 由抛物线的定义
5、知xPr1, 则P(r1,2),r1 又由中垂线定理,知|OA|OB|2(r1),且|OA|OB|5,故由圆的切割线定理,得(2 )2(1|OA|)(1|OB|),展开整理得r4,故选 D.r1 8(2018绍兴市、诸暨市模拟)已知双曲线的标准方程为1,F1,F2为其左、 右焦点, x2 a2 y2 b2 若P是双曲线右支上的一点, 且 tanPF1F2 , tanPF2F12, 则此双曲线的离心率为( ) 1 2 A.B.C.D.5 5 2 3 5 5 3 答案 A 解析 由 tanPF1F2 ,tanPF2F12 知, 1 2 PF1PF2,作PQx轴于点Q, 则由PF1QF2PQ,得|F
6、1Q|4|F2Q|c, 8 5 故P, ( 3 5c, 4 5c) 代入双曲线的方程,有b2 2a22a2b2, ( 3 5c)( 4 5c) 又a2b2c2,则(9c25a2)(c25a2)0, 解得 或 (舍),即离心率e,故选 A. c a 5 c a 5 3 5 9(2019宁波模拟)设抛物线y24x的焦点为F,过点P(5,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点, 与抛物线的准线相交于点C, 若|BF|5, 则BCF与ACF的面积之比等于( ) S BCF S ACF A. B.C.D. 5 6 20 33 15 31 20 29 答案 D 解析 由题意知直线AB的斜率存在, 则由抛物线
7、的对称性不妨设其方程为yk(x5),k0, 与抛物线的准线x1 联立,得点C的坐标为(1,6k), 与抛物线的方程y24x联立,消去y得 k2x2(10k24)x25k20, 则xAxB,xAxB25, 10k24 k2 又因为|BF|xB15,所以xB4, 代入解得xA,k4, 25 4 则yA5,yB4,yC24, 则SACF |PF|yAyC|58, 1 2 SABF |PF|yAyB|18, 1 2 则1,故选 D. S BCF S ACF S ABF S ACF 20 29 10 已知直线l:kxy2k10 与椭圆C1:1(ab0)交于A,B两点, 与圆C2: (x x2 a2 y2
8、 b2 2)2(y1)21 交于C,D两点若存在k2,1,使得,则椭圆C1的离心率AC DB 的取值范围是( ) A.B.C.D. (0, 1 2 1 2,1)(0, 2 2 2 2 ,1) 答案 C 解析 直线l过圆C2的圆心,AC DB |,C2的圆心为线段AB的中点AC2 C2B 设A(x1,y1),B(x2,y2),则Error! 两式相减得, , x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 化简可得2k, b2 a2 又ab, , b2 a2 k 2 1 2,1) 所以e.1b 2 a2(0, 2 2 第卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题
9、6 分,单空题每题 4 分,共 36 分把答案填在题 中横线上) 11 (2018台州质检)已知直线l1:mx3y2m,l2:x(m2)y1, 若l1l2, 则实数m _;若l1l2,则实数m_. 答案 3 3 2 解析 l1l2等价于Error!解得m3. l1l2等价于m3(m2)0,解得m . 3 2 12(2018浙江十校联盟考试)抛物线y4x2的焦点坐标是_,焦点到准线的距离是 _ 答案 (0, 1 16) 1 8 解析 由y4x2,得x2 ,可得 2p ,所以p ,即焦点的坐标为,焦点到准线 y 4 1 4 1 8(0, 1 16) 的距离为 . 1 8 13 (2018衢州模拟)
10、已知圆C与x轴相切于点T(1,0), 与y轴正半轴交于两点A,B(B在A 的上方), |AB|2, 圆C的半径为_; 圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_ 答案 122 解析 设圆心C(1,b),则半径rb. 由垂径定理得,1 2b2, ( |AB| 2) 即b,且B(0,1)22 又由ABC45,切线与BC垂直, 知切线的倾斜角为 45, 故切线在x轴上的截距为1.2 14若双曲线1(a0,b0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍,则双曲线的离 x2 a2 y2 b2 3 4 心率为_,如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为 4,则双曲线 的虚轴长为_ 答案 2 4 3 解析
11、由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍, 3 4 可知双曲线渐近线yx的倾斜角为, b a 3 即 ,所以e 2, b a 3 c a 13 因为a2,从而b2,1643 所以虚轴长为 4.3 15已知点A(0,1),抛物线C:y2ax(a0)的焦点为F,线段FA与抛物线C相交于点M,FA 的延长线与抛物线的准线相交于点N,若|FM|MN|13,则实数a的值为_ 答案 2 解析 依题意得焦点F的坐标为, ( a 4,0) 设点M在抛物线的准线上的射影为K,连接KM(图略), 由抛物线的定义知|MF|MK|, 因为|FM|MN|13, 所以|KN|KM|21,2 又kFN,kFN2, 01 a 4
12、0 4 a |KN| |KM| 2 所以 2,解得a. 4 a 22 16已知双曲线E:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,A(2,1),B是E上不 x2 a2 y2 b2 同的两点,且四边形AF1BF2是平行四边形,若AF2B,则双曲线E的标准 2 3 2 ABF S 3 方程为_ 答案 y21 x2 2 解析 如图, 因为四边形AF1BF2是平行四边形, 所以, 2 ABF S 1 2 AF F S F1AF2, 3 所以|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos, 3 即 4c2|AF1|2|AF2|2|AF1|AF2|, 又 4a2(|AF1|AF2|)
13、2, 所以 4a2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|, 由可得|AF1|AF2|4b2, 又 4b2, 2 ABF S 1 2 3 2 3 所以b21,将点A(2,1)代入y21,可得a22, x2 a2 故双曲线E的标准方程为y21. x2 2 17 在平面直角坐标系xOy中,A(3,0),P(3,t),tR R, 若存在C,D两点满足2, |AC| |OC| |AD| |OD| 且2,则t的取值范围是_PD PC 答案 2,255 解析 设C(x,y),因为A(3,0),2, |AC| |OC| 所以2, x 3 2y2 x2y2 整理得(x1)2y24, 即点C在圆M:(x1)
14、2y24 上 同理由2 可得点D也在圆M上 |AD| |OD| 因为2,所以C是PD的中点,PD PC 过点M作MNCD,垂足为N,连接CM,PM. 设|MN|d,|PC|CD|2k,分别在 RtCMN,RtPMN中,由勾股定理,得 Error!消去k2得,t2208d2. 因为 0d20, 解得1),设直线PM的斜率为k. x2 a2 (1)试用a,k表示弦长|MN|; (2)若这样的PMN存在 3 个,求实数a的取值范围 解 (1)不妨设直线PM所在的直线方程为ykx1(k1,所以a.3 20(15 分)已知椭圆C:1(ab0)的长轴长为 4,其上顶点到直线 3x4y10 的 x2 a2
15、y2 b2 距离等于 . 3 5 (1)求椭圆C的方程; (2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,交x轴的负半轴于点E,交y轴于点F(点E,F都不在 椭圆上),且1,2,128,证明 : 直线l恒过定点,并求出该定点FA AE FB BE 解 (1)由椭圆C的长轴长为 4 知 2a4,故a2, 椭圆的上顶点为(0,b),则由 得b1, |4b1| 5 3 5 所以椭圆C的方程为y21. x2 4 (2)设A(x1,y1),E(m,0)(m1)上的点A到其焦点的距离为 , 且点A在曲线xy2 3 2 0 上 5 2 (1)求抛物线C的方程; (2)M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线C上异于
16、原点的两点,Q(x0,y0)是线段MN的中点,点P是 抛物线C在点M,N处切线的交点,若|y1y2|4p,证明:PMN的面积为定值 (1)解 设点A(xA,yA), 点A到抛物线焦点的距离为 , 3 2 xA ,y2pxA2p, 3 2 p 2 2A ( 3 2 p 2) 又点A在曲线xy2 0 上, 5 2 2p 0, 3 2 p 2( 3 2 p 2) 5 2 即p2p10,解得p2 或p (舍去), 5 2 1 2 抛物线C的方程为y24x. (2)证明 由(1)知M,N,|y1y2|8, ( y2 1 4 ,y1) ( y2 2 4 ,y2) 设抛物线C在点M处的切线的斜率为k(k0)
17、, 则该切线的方程为yy1k, (x y2 1 4) 联立方程得Error!消去x,整理得 ky24y4y1ky0, 2 1 M是切点,164k(4y1ky)0, 2 1 即 44ky1k2y0,解得k, 2 1 2 y1 直线PM的方程为yy1(x),即yx, 2 y1 y2 1 4 2 y1 y1 2 同理得直线PN的方程为yx, 2 y2 y2 2 联立方程得Error!解得Error! P, ( y1y2 4 ,y 1y2 2) Q是线段MN的中点,y0, y1y2 2 PQx轴,且x0, x1x2 2 y2 1y2 2 8 PMN的面积S |PQ|y1y2| 1 2 |y1y2| 1
18、 2| y1y2 4 x0| |y1y2| 1 2| y1y2 4 y 2 1y2 2 8| |y1y2|332, 1 16 即PMN的面积为定值 22(15 分)(2018嘉兴测试)如图,已知抛物线x2y,过直线l:y 上任一点M作抛 1 4 物线的两条切线MA,MB,切点分别为A,B. (1)求证:MAMB; (2)求MAB面积的最小值 (1)证明 方法一 设M, (x 0,1 4) 易知直线MA,MB的斜率都存在,分别设为k1,k2, 设过点M的抛物线的切线方程为y k(xx0), 1 4 由Error!得x2kxkx0 0, 1 4 k24kx010, 由题意知,k1,k2是方程k24
19、x0k10 的两个根, 所以k1k21,所以MAMB. 方法二 设M,A(x1,x),B(x2,x), (x 0,1 4) 2 12 2 易知直线MA,MB的斜率都存在,分别设为k1,k2. 由yx2,得y2x, 则MA,MB的斜率分别为k12x1,k22x2, 所以 2x1,整理得x2x1x0 , x2 11 4 x1x0 2 1 1 4 同理可得,x2x2x0 , 2 2 1 4 两式相减得,xx2x0(x1x2), 2 12 2 因为x1x2,所以x1x22x0, 于是xx1(x1x2) , 2 1 1 4 所以x1x2 ,即k1k24x1x21, 1 4 所以MAMB. (2)解 由(1)得k12x1,k22x2, 所以A,B, ( k1 2 ,k 2 1 4)( k2 2 ,k 2 2 4) 易知k1k21,k1k24x0, 所以|MA|yAyM|1 1 k2 1 1 1 k2 1| k2 1 4 1 4| ,同理,|MB|, k2 1 1 4|k1| k2 2 1 4|k2| 所以SMAB |MA|MB| 1 2 1 2 k2 1 1 k2 21 16|k1k2| k2 1k2 2 2 32 4x022 12 32 . 4x024 32 3 2 4 32 1 4 综上,当x00 时,MAB的面积取得最小值,最小值为 . 1 4
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