2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第十章 算法、统计与概率 10.3含解析.pdf
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1、10.3 用样本估计总体 用样本估计总体 考情考向分析 主要考查平均数、方差的计算以及茎叶图与频率分布直方图的简单应用; 题型以填空题为主,难度为中低档题 1作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) (2)决定组距与组数 (3)将数据分组 (4)列频率分布表 (5)画频率分布直方图 2频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:如果将频率分布直方图中各个相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起 来,那么就得到频率分布折线图 (2)总体分布的密度曲线:如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,那么相应的 频率折线图将趋于一条光滑曲线,我们称这条光滑曲线为总体
2、分布的密度曲线 3茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边 生长出来的数 4标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 (2)标准差: s. 1 nx 1 x 2x2 x 2xn x 2 (3)方差:s2 (x1 )2(x2 )2(xn )2(xn是样本数据,n 是样本容量, 是样本平均 1 n xxxx 数) 概念方法微思考 1在频率分布直方图中如何确定中位数? 提示 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积是相等的 2平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征? 提示 平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差反映了
3、数据对平均数的波动情况, 即标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;反之离散程度越小,越稳定 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势( ) (2)一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结论( ) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息 就被抹掉了( ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写,右侧的叶按从小到大的顺序写,相同的数据可 以只记一次( ) (5)在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数( ) 题组二 教
4、材改编 2P58 例 4如图是 100 位居民月均用水量的频率分布直方图,则月均用水量为2,2.5)范围内 的居民有_人 答案 25 解析 0.50.510025. 3P56 练习 T3一个容量为 32 的样本,已知某组样本的频率为 0.25,则该组样本的频数为 _ 答案 8 解析 设频数为 n,则0.25, n 32 n32 8. 1 4 4P71 练习 T1已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是_ 答案 0.1 解析 5.1,x 4.74.85.15.45.5 5 则该组数据的方差 s20.1. 4.75.124.85.125.15.125.45.125.
5、55.12 5 题组三 易错自纠 5(2018徐州模拟)一组数据共 40 个,分为 6 组,第 1 组到第 4 组的频数分别为 10,5,7,6, 第 5 组的频率为 0.1,则第 6 组的频数为_ 答案 8 解析 因为数据共 40 个,第 5 组的频率为 0.1, 所以第 5 组的频数为 400.14, 所以第 6 组的频数为 40(105764)8. 6为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分 (十分制)如图所示,假设得分的中位数为 m,众数为 n,平均数为 ,则 m,n, 的大小关系xx 为_(用“2, 1 5 1 5 故成绩较稳定(方差较小)的
6、那一位同学的方差为 2. 2 (2018江苏淮阴中学月考)如图所示是一次歌唱大赛上, 七位评委为某选手打出的分数的茎 叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为 85,则 a2b2的最小值是 _ 答案 32 解析 方法一 根据题意, 有5, 得 ab8, 则 b8a, a2b2a2(8a)2 4a6b7 5 2a216a64, 其中 a, b 满足 0a9,0b9, 即 0a9,08a9, 即 0a8 且 a 是整数,令 f(a)2a216a64,显然当 a4 时,f(a)取得最小值,这个最小值是 32. 方法二 同方法一可得 ab8, 则 82, 故 ab16, 而 a2b2(a
7、b)22ab6432ab 32,当且仅当 ab4 时等号成立 3.空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按 照 AQI 大小分为六级,050 为优;51100 为良;101150 为轻度污染;151200 为中度 污染;201300 为重度污染;大于 300 为严重污染从某地一环保人士某年的 AQI 记录数 据中,随机抽取 10 个,用茎叶图记录如下根据该统计数据,估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为_(该年有 365 天) 答案 146 解析 该样本中 AQI 大于 100 的频数是 4,频率为 , 2 5 由此估计该
8、地全年 AQI 大于 100 的频率为 , 2 5 估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为 365 146. 2 5 思维升华 茎叶图的优缺点 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似它优于频率分布 直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记 录和表示其缺点是当样本容量较大时,作图较烦琐 题型二 频率分布直方图的绘制与应用 例 1 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据 (单位:kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺 序分
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