2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第十二章 系列4选讲 12.3 第2课时含解析.pdf
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1、第第 2 课时 不等式的证明课时 不等式的证明 考情考向分析 本节主要考查不等式的证明方法及柯西不等式的简单应用, 以解答题的形式 出现,属于低档题 1不等式证明的方法 (1)比较法 作差比较法 知道 abab0,ab,只要证明 ab0 即可,这种方法称为 作差比较法 作商比较法 由 ab0 1 且 a0,b0,因此当 a0,b0 时,要证明 ab,只要证明 1 即可,这种方 a b a b 法称为作商比较法 (2)综合法 从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,最终推导出所要证明的不 等式成立,这种证明方法叫做综合法,即“由因导果”的方法 (3)分析法 从待证不等式出发,逐
2、步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的 不等式(已知条件、定理等),从而得出要证的不等式成立,这种证明方法叫做分析法,即 “执果索因”的方法 (4)反证法和放缩法 先假设要证的命题不成立, 以此为出发点, 结合已知条件, 应用公理、 定义、 定理、 性质等, 进行正确的推理, 得到和命题的条件(或已证明的定理、 性质、 明显成立的事实等)矛盾的结论, 以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法叫做反证法 在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小,以利于化简并使它与不 等式的另一边的关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法 (5)数学归纳法
3、 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时,可以用以下两 个步骤: 证明当 nn0时命题成立; 假设当 nk (kN*,且 kn0)时命题成立,证明 nk1 时命题也成立 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立这种证明方法 称为数学归纳法 2几个常用的不等式 (1)柯西不等式 柯西不等式的代数形式 : 设 a, b, c, d 都是实数, 则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当 ad bc 时,等号成立) 柯西不等式的向量形式:设 , 是两个向量,则|,当且仅当 是零向量,或存 在实数 k,使 k 时,等号成立 柯西
4、不等式的三角形不等式:设 x1,y1,x2,y2,x3,y3R,则 x 1x22y1y22 . x 2x32y2y32 x 1x32y1y32 柯西不等式的一般形式:设 n 为大于 1 的自然数,ai,bi(i1,2,n)为实数,则(a a 2 12 2 a )(b b b )(a1b1a2b2anbn)2, 等号当且仅当时成立(当 2 n2 12 22 n b1 a1 b2 a2 bn an ai0 时,约定 bi0,i1,2,n) (2)算术几何平均不等式 若 a1,a2,an为正数,则,当且仅当 a1a2an时,等号 a1a2an n n a1a2an 成立 题组一 思考辨析 1判断下列
5、结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用反证法证明命题“a,b,c 全为 0”时,假设为“a,b,c 全不为 0” ( ) (2)若1,则 x2yxy.( ) x2y xy (3)若 a,b 为正实数,ab1,则 4.( ) 1 a 1 b (4)若实数 x,y 适合不等式 xy1,xy2,则 x0,y0.( ) 题组二 教材改编 2P12 例 1不等式:x233x;a2b22(ab1); 2,其中恒成立的是 b a a b _(填序号) 答案 解析 由得x233x 2 0, 所以x233x恒成立 ; 对于, 因为a2b22(ab (x 3 2) 3 4 1)(a1)2(b1)20,所
6、以不等式成立;对于,因为当 abb1,xa ,yb ,则 x 与 y 的大小关系是_ 1 a 1 b 答案 xy 解析 xya ab.由 ab1,得 ab1,ab0, 1 a (b 1 b) ba ab abab1 ab 所以0,即 xy0,所以 xy. abab1 ab 4 P37 习题 T1设 a, b, m, nR, 且 a2b25, manb5, 则的最小值为_m2n2 答案 5 解析 根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2),得 255(m2n2),m2n25, m2n2 的最小值为 . 5 题组三 易错自纠 5已知 a,b,c 是正实数,且 abc1,则 的最小值为_
7、1 a 1 b 1 c 答案 9 解析 把 abc1 代入到 中, 1 a 1 b 1 c 得 abc a abc b abc c 3 ( b a a b) ( c a a c) ( c b b c) 32229, 当且仅当 abc 时,等号成立 1 3 6(2019徐州模拟)已知正数 a,b,c 满足 2a3b6c2,求 的最小值 3 a 2 b 1 c 解 由于 a,b,c0, 所以 3 a 2 b 1 c (a 3 2b3c)( 3 a 2 b 1 c) 2 ( a 3 a 3 2b 2 b 3c 1 c) ()227,333 当且仅当 , a 3 a 3 2b 2 b 3c 1 c 即
8、 abc321 且 a,b,c0 时,等号成立 7已知实数 a,b,c 满足 a0,b0,c0,且 abc1. 证明:(1)(1a)(1b)(1c)8; (2) .abc 1 a 1 b 1 c 证明 (1)a0,b0,c0,1a2,a 1b2,1c2,bc (1a)(1b)(1c)88,abc 当且仅当 abc1 时,等号成立 (2) bcacab,a0,b0,c0, 1 a 1 b 1 c abbc22,ab2cb abac22,a2bca bcac22,abc2c abacbc,abc 即 .abc 1 a 1 b 1 c 题型一 用综合法与分析法证明不等式 例 1 (1)(2018南京
9、、盐城模拟)设 ab,求证:a46a2b2b44ab(a2b2) 证明 a46a2b2b44ab(a2b2) (a2b2)24ab(a2b2)4a2b2 (a2b22ab)2(ab)4. 因为 ab,所以(ab)40, 所以 a46a2b2b44ab(a2b2) (2)设 a,b,c0 且 abbcca1,求证:abc . 3 证明 因为 a,b,c0,所以要证 abc,3 只需证明(abc)23. 即证 a2b2c22(abbcca)3, 而 abbcca1, 故需证明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca), 即证 a2b2c2abbcca. 而 abbccaa2b2c2(当且仅
10、当 abc 时等号成立), a2b2 2 b2c2 2 c2a2 2 所以原不等式成立 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果” ,用分析法证明不等式是“执果索因” ,它们是 两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以 在实际应用时, 往往用分析法找思路, 用综合法写步骤, 由此可见, 分析法与综合法相互转化, 相互渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野 跟踪训练 1 已知 a0,b0,a3b32,证明: (1)(ab)(a5b5)4; (2)ab2. 证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3
11、ab(a4b4) 4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24. (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b3 23ab(ab)2(ab)2, 3ab2 4 3ab3 4 所以(ab)38,因此 ab2. 题型二 用放缩法证明不等式 例 2 若 a,bR,求证:. |ab| 1|ab| |a| 1|a| |b| 1|b| 证明 方法一 当|ab|0 时,不等式显然成立 当|ab|0 时, 由 0,.上面不 1 k2 1 kk1 1 k2 1 kk1 1 k 2 k k1 1 k 2 k k1 等式中 kN*,k1; 利用函数的单调性; 真分数性质:“若 00,则 n(k1,2,n),得
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