2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第四章 三角函数、解三角形 4.6含解析.pdf
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1、4.6 正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理 考情考向分析 以利用正弦、 余弦定理和三角形面积公式解三角形为主, 常与三角函数的图 象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意 识题型多样,中档难度 1正弦定理、余弦定理 在ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为ABC 外接圆半径,则 定理正弦定理余弦定理 内容 (1)2R a sin A b sin B c sin C (2)a2b2c22bccos A; b2c2a22cacos B; c2a2b22abcos C 变形 (3)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C;
2、 (4)sin A,sin B,sin C; a 2R b 2R c 2R (5)abcsin Asin Bsin C; (6)asin Bbsin A, bsin Ccsin B, asin Ccsin A (7)cos A; b2c2a2 2bc cos B; c2a2b2 2ac cos Ca 2b2c2 2ab 2在ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系式absin Absin Ab 解的个数一解两解一解一解 3.三角形常用面积公式 (1)S aha(ha表示边 a 上的高); 1 2 (2)S absin C acsin B bcsin
3、 A; 1 2 1 2 1 2 (3)S r(abc)(r 为三角形内切圆半径) 1 2 概念方法微思考 1在ABC 中,AB 是否可推出 sin Asin B? 提示 在ABC 中,由AB 可推出 sin Asin B. 2如图,在ABC 中,有如下结论:bcos Cccos Ba.试类比写出另外两个式子 提示 acos Bbcos Ac; acos Cccos Ab. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比( ) (2)当 b2c2a20 时,三角形 ABC 为锐角三角形( ) (3)在ABC 中,.( ) a si
4、n A abc sin Asin Bsin C (4)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积( ) 题组二 教材改编 2P9T2在ABC 中,AB,A75,B45,则 AC .6 答案 2 解析 C180754560, 由正弦定理得, AB sin C AC sin B 即, 6 sin 60 AC sin 45 解得 AC2. 3P11T6在ABC 中,A60,b1,面积为,则边长 c .3 答案 4 解析 A60,b1,面积为 bcsin A 1c,c4.3 1 2 1 2 3 2 4P11T7ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcos Bacos Ccco
5、s A,则 B . 答案 3 解析 由正弦定理可得, 2cos Bsin Bsin Acos Csin Ccos A sin(AC)sin B, sin B0,cos B , 1 2 00,cos B0) 则 cos Cc,可得 30B180, bsin C c 2 3 1 2 2 3 2 B60或 B120. 3在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,cos 2Asin A,bc2,则ABC 的 面积为 答案 1 2 解析 由 cos 2Asin A, 得 12sin2Asin A, 解得 sin A (负值舍去), 由 bc2, 可得ABC 1 2 的面积 S bcsin
6、 A 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2 4在ABC 中,cos ,则ABC 的形状是 三角形 A 2 1cos B 2 答案 等腰 解析 由已知得 cos2, A 2 1cos B 2 2cos21cos B,cos Acos B, A 2 又 0A,0B,AB, ABC 为等腰三角形 5在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2c2b2)tan Bac,则角 B 的值3 为 答案 或 3 2 3 解析 由余弦定理,得cos B, a2c2b2 2ac 结合已知等式得 cos Btan B, 3 2 sin B,又 0B,B 或. 3 2 3 2 3 6设ABC 的
7、内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a,sin B ,C ,则 b3 1 2 6 . 答案 1 解析 因为 sin B 且 B(0,), 1 2 所以 B 或 B. 6 5 6 又 C ,BC, 6 所以 B ,ABC. 6 2 3 又 a,由正弦定理得,3 a sin A b sin B 即 , 3 3 2 b 1 2 解得 b1. 7已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos C,bcos Aacos B2, 2 2 3 则ABC 的外接圆面积为 答案 9 解析 因为 bcos Aacos B2, 所以由余弦定理得 ba2, b2c2a2 2bc a2
8、c2b2 2ac 解得 c2(c0 舍去) 由 cos C,得 sin C , 2 2 3 1 3 再由正弦定理可得 2R6(R 为ABC 外接圆半径), c sin C 所以 R3, 所以ABC 的外接圆面积为 R29. 8在ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 SABC2,ab6,3 2cos C,则 c . acos Bbcos A c 答案 2 3 解析 2cos C, acos Bbcos A c 由正弦定理,得 sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C, sin(AB)sin C2sin Ccos C, 由于 0C,sin C0,c
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