2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第四章 三角函数、解三角形 4.3含解析.pdf
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1、4.3 三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质 考情考向分析 以考查三角函数的图象和性质为主, 题目涉及三角函数的图象及应用、 图象 的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时,常与三角恒等变换结合, 加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有填空题,又有解答题,中档难度 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数 ysin x, x0,2的图象中, 五个关键点是 : (0,0), (, 0), (2, ( 2,1) ( 3 2 ,1) 0) (2)在余弦函数 ycos x, x0,2的图象中, 五个关键点是 : (0,1), (, 1), (2, ( 2,
2、0) ( 3 2 ,0) 1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ) 函数ysin xycos xytan x 图象 定义域RRx|xR,且 xk 2 值域1,11,1R 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 递增区间 2k 2,2k 2 2k,2k (k 2,k 2) 递减区间 2k 2,2k 3 2 2k,2k无 对称中心(k,0) (k 2,0) ( k 2 ,0) 对称轴方程xk 2 xk无 概念方法微思考 1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少?相邻两个对称中心的距离呢? 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期;相邻两个对称中心的距离也为 半个周
3、期 2思考函数 f(x)Asin(x)(A0,0)是奇函数,偶函数的充要条件? 提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 k(kZ); 2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是 k(kZ) 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)ysin x 在第一、第四象限是增函数( ) (2)由 sinsin 知,是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期( ) ( 6 2 3) 6 2 3 (3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( ) (4)已知 yksin x1,xR,则 y 的最大值为 k1.( ) (5)ysin|x|是偶函数( ) 题组二 教材改编 2P
4、44T1函数 f(x)cos的最小正周期是_ (2x 4) 答案 3P45T4y3sin在区间上的值域是_ (2x 6) 0, 2 答案 3 2,3 解析 当 x时,2x , 0, 2 6 6, 5 6 sin, (2x 6) 1 2,1 故 3sin, (2x 6) 3 2,3 即 y3sin的值域为. (2x 6) 3 2,3 4P33 例 4函数 ytan的定义域为_ ( 42x) 答案 Error! 题组三 易错自纠 5函数 ytan的图象的对称中心是_ ( 1 2x 6) 答案 ,kZ (k 3,0) 解析 由 x ,kZ,得 xk ,kZ, 1 2 6 k 2 3 所以对称中心是,
5、kZ. (k 3,0) 6函数 f(x)4sin的单调递减区间是_ ( 32x) 答案 (kZ) k 12,k 5 12 解析 f(x)4sin4sin. ( 32x) (2x 3) 所以要求 f(x)的单调递减区间, 只需求 y4sin的单调递增区间 (2x 3) 由 2k2x 2k(kZ),得kxk(kZ) 2 3 2 12 5 12 所以函数 f(x)的单调递减区间是(kZ) 12k, 5 12k 7cos 23,sin 68,cos 97的大小关系是_ 答案 sin 68cos 23cos 97 解析 sin 68cos 22, 又 ycos x 在0,180上是减函数, sin 68
6、cos 23cos 97. 题型一 三角函数的定义域 1函数 f(x)2tan的定义域是_ (2x 6) 答案 Error! 解析 由正切函数的定义域,得 2x k ,kZ,即 x (kZ) 6 2 k 2 6 2函数 y的定义域为_sin xcos x 答案 (kZ) 2k 4,2k 5 4 解析 方法一 要使函数有意义, 必须使sin xcos x0.利用图象, 在同一坐标系中画出0,2 上 ysin x 和 ycos x 的图象,如图所示 在0,2内,满足 sin xcos x 的 x 为 , ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2,所以原函数 4 5 4 的定义域为Error!. 方法二
7、利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示) 所以定义域为Error!. 3函数 ylg(sin x) 的定义域为_cos x1 2 答案 Error! 解析 要使函数有意义,则Error! 即Error! 解得Error! 所以 2k0)的最小正周期为 4,则 _. (x 4) 答案 2 解析 f(x)cos(0), (x 4) 由周期计算公式,可得 T4,解得 . 2 2 (2)已知函数 f(x)sin(x)(0)的最小正周期为 ,则 f _. ( 12) 答案 1 2 解析 T,2, 2 T 2 f(x)sinsin 2x,(2x2) f sin . ( 12) 6 1
8、2 (3)(2018无锡市梅材高中期中)已知函数 f(x)sin(x)cos(x),0,0 0,| 0)图象的两条相邻对称轴,则 5 4 9 4 _. 答案 k ,kZ 5 4 解析 由题意, 函数的周期 T22, 1, ycos(x), 当 x 时, ( 9 4 5 4) 2 T 5 4 函数取得最大值或最小值,即 cos1,可得 k,kZ, ( 5 4) 5 4 k ,kZ. 5 4 题型四 三角函数的单调性 命题点 1 求三角函数的单调区间 例 3 (1)若点 P(1,1)在角 (0,函数 f(x)sin在上单调递减,则 的取值范围是_ (x 4) ( 2,) 答案 1 2, 5 4 解
9、析 由 0,得 0,kZ,得 k0,所以 . 1 2 (2k 5 4) 5 4 1 2, 5 4 引申探究 本例中, 若已知 0, 函数 f(x)cos在上单调递增, 则 的取值范围是_ (x 4) ( 2,) 答案 3 2, 7 4 解析 函数 ycos x 的单调递增区间为2k,2k,kZ, 则Error!kZ, 解得 4k 2k ,kZ, 5 2 1 4 又由 4k 0,kZ 且 2k 0,kZ, 5 2 (2k 1 4) 1 4 得 k1,所以 . 3 2, 7 4 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(其中 0)的单调区间时,要视
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