2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第四章 三角函数、解三角形 4.7含解析.pdf
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1、4.7 解三角形的实际应用 解三角形的实际应用 考情考向分析 以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主,常与三 角恒等变换、 三角函数的性质结合考查, 加强数学知识的应用性 题型主要为填空题或解答题, 中档难度 测量中的有关几个术语 术语名称术语意义图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中,目标视 线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在 水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标 方向线之间的夹角叫做方位角方位角 的 范围是 0360 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐 角,通常表达为北(南)偏东(西) 例:(1)北偏东 :
2、(2)南偏西 : 坡角与坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度;坡 面的垂直高度与水平长度之比叫坡比 概念方法微思考 在实际测量问题中有哪几种常见类型,解决这些问题的基本思想是什么? 提示 实际测量中有高度、 距离、 角度等问题, 基本思想是根据已知条件, 构造三角形(建模), 利用正弦定理、余弦定理解决问题 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为 , 从 B 处望 A 处的俯角为 , 则 , 的关系为 180.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.( ) 0, 2 (3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察
3、点与目标点之间的位置关系( ) (4)方位角大小的范围是0,2),方向角大小的范围一般是.( ) 0, 2) 题组二 教材改编 2.P18 例 1如图所示, 设 A, B 两点在河的两岸, 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C, 测出 A,C 的距离为 50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算出 A,B 两点的距离 为_ m. 答案 50 2 解析 由正弦定理得, AB sinACB AC sin B 又 B30,AB50(m) ACsinACB sin B 50 2 2 1 2 2 3 P21T3如图, 在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30, 沿倾斜角为 15的斜坡向上走
4、 a 米到 B, 在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60,则山高 h_米 答案 a 2 2 解析 由题图可得PAQ30, BAQ15,在PAB 中,PAB15, 又PBC60, BPA30,(90)(90) 在PAB 中,PBa, a sin 30 PB sin 15 6 2 2 PQPCCQPBsin asin asin 60asin 15a. 6 2 2 2 2 题组三 易错自纠 4要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45,在 D 点测得 塔顶 A 的仰角 30,并测得水平面上的BCD120,CD40 m,则电视塔的高度为_ m. 答案 40 解析
5、设电视塔的高度为 x m,则 BCx,BDx.在BCD 中,由余弦定理得 BD2BC23 CD22BCCDcosBCD,3x2x2402240xcos 120,即 x220x8000,解得 x 20(舍去)或 x40.故电视塔的高度为 40 m. 5 在某次测量中, 在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60, C点的俯角是70, 则BAC _. 答案 130 解析 6070130. 6海上有 A,B,C 三个小岛,A,B 相距 5 海里,从 A 岛望 C 和 B 成 45视角,从 B 岛3 望 C 和 A 成 75视角,则 B,C 两岛间的距离是_海里 答案 5 2 解析 由题意可知ACB6
6、0, 由正弦定理得, 即, 得 BC AB sinACB BC sinBAC 5 3 sin 60 BC sin 45 5 . 2 题型一 测量距离问题 1江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测 得俯角分别为 45和 60,而且两条船与炮台底部连线成 30角,则两条船相距_m. 答案 10 3 解析 如图, OMAOtan 4530(m), ONAOtan 303010(m), 3 3 3 在MON 中,由余弦定理得 MN 9003002 30 10 3 3 2 10 (m)3003 2.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,要测
7、出 A,B 的距离,测量者可 以在河岸边选定两点C, D, 若测得CD km, ADBCDB30, ACD60, ACB 3 2 45,则 A,B 两点间的距离为_ km. 答案 6 4 解析 ADCADBCDB60,ACD60, DAC60,ACDC km. 3 2 在BCD 中,DBC45, 由正弦定理,得 BCsinBDC DC sinDBC sin 30(km) 3 2 sin 45 6 4 在ABC 中,由余弦定理, 得 AB2AC2BC22ACBCcos 45 2 . 3 4 3 8 3 2 6 4 2 2 3 8 AB km. 6 4 A,B 两点间的距离为 km. 6 4 3如
8、图,为了测量两座山峰上 P,Q 两点之间的距离,选择山坡上一段长度为 300 m 且3 和 P, Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点, 现测得PAB90, PAQ PBAPBQ60,则 P,Q 两点间的距离为_ m. 答案 900 解析 由已知,得QABPABPAQ30. 又PBAPBQ60, AQB30,ABBQ. 又 PB 为公共边,PABPQB,PQPA. 在 RtPAB 中,APABtan 60900,故 PQ900, P,Q 两点间的距离为 900 m. 思维升华 求距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接
9、求解; 若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理 题型二 测量高度问题 例 1 (2018海安测试)如图,已知 AB 是一幢 6 层的写字楼,每层高均为 3 m,在 AB 正前方 36 m 处有一建筑物 CD,从楼顶 A 处测得建筑物 CD 的张角为 45. (1)求建筑物 CD 的高度; (2)一摄影爱好者欲在写字楼 AB 的某层拍摄建筑物 CD.已知从摄影位置看景物所成张角最大 时,拍摄效果最佳问:该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)? 解 (1)如图,作 AECD 于点 E,则 AEBD. 所以
10、 DEAB18,AEBD36. 因为 tanDAE , 18 36 1 2 所以 tanCAEtan(45 DAE) . 1tanDAE 1tanDAE 1 3 所以 CE36tanCAE12. 答 建筑物 CD 的高度为 30 米 (2)设在第 n 层 M 处拍摄效果最佳,则摄影高度为 3(n1)米(如图)(1n6,nN) 作 MNCD 于 N,则 DN3(n1),CN303(n1)333n. tanCMN, CN MN 11n 12 tanDMN, DN MN n1 12 tanCMDtan(CMNDMN) tanCMNtanDMN 1tanCMNtanDMN 11n 12 n1 12 1
11、11n 12 n1 12 120 n212n155 (当 n6 时取等号) 120 n62119 120 119 因为函数 ytan x 在上是单调增函数, (0, 2) 所以当 n6 时,张角CMD 最大,拍摄效果最佳 答 该人在第 6 层拍摄时效果最好 思维升华 (1)高度也是两点之间的距离,其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的, 基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中 (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一 个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错 跟踪训练 1 如图所示, 在山顶铁塔上 B
12、处测得地面上一点 A 的俯角为 , 在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h,则山高 CD_. 答案 hcos sin sin 解析 由已知得BCA90,ABC90,BAC,CAD. 在ABC 中,由正弦定理得, AC sinABC BC sinBAC 即, AC sin90 BC sin AC. BCcos sin hcos sin 在 RtACD 中,CDACsinCADACsin . hcos sin sin 故山高 CD 为. hcos sin sin 题型三 角度问题 例 2 如图所示,一艘巡逻船由南向北行驶,在 A 处测得山顶 P 在北偏东 15(BAC
13、15)的 方向, 匀速向北航行 20 分钟后到达 B 处, 测得山顶 P 位于北偏东 60的方向, 此时测得山顶 P 的仰角为 60,已知山高为 2 千米3 (1)船的航行速度是每小时多少千米? (2)若该船继续航行 10 分钟到达 D 处,问此时山顶位于 D 处南偏东多少度的方向? 解 (1)在BCP 中,由 tanPBC, PC BC 得 BC2, PC tanPBC 在ABC 中,由正弦定理得, BC sinBAC AB sinBCA 即, 2 sin 15 AB sin 45 所以 AB2(1),3 故船的航行速度是每小时 6(1)千米3 (2)在BCD 中,BD1,BC2,CBD60
14、,3 则由余弦定理得 CD,6 在BCD 中,由正弦定理得, CD sinDBC BC sinCDB 即,所以 sinCDB, 6 sin 60 2 sinCDB 2 2 所以,山顶位于 D 处南偏东 45的方向 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义 (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用 跟踪训练 2 如图所示, 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东40的方向上, 灯塔B在观
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