冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题:07正余弦定理及其应用(含解析).pdf
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1、专题 07 正余弦定理及其应用专题 07 正余弦定理及其应用 【自主热身,归纳总结】【自主热身,归纳总结】 1、在ABC中,设a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a5,A,cosB ,c_. 4 3 5 【答案】: 7 【解析】 : 因为 cosB ,所以B(0,),从而 sinB ,所以 sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 3 5 2 4 5 ,又由正弦定理得,即,解得c7. 2 2 3 5 2 2 4 5 72 10 a sinA c sinC 5 2 2 c 72 10 2、在ABC 中,已知 AB1,AC,B45,则 BC 的长为_2 【答案】: 2 6 2 【解
2、析】 : 在ABC 中,已知 c1,b,B45,由余弦定理 b2a2c22accosB,得 a2a10.22 因为 a0,所以 a,即 BC. 2 6 2 2 6 2 已知两条边以及一个角,研究第三边的问题的本质是三边一角,所以应用余弦定理是最直接的方解后反思 法,它要比应用正弦定理来得方便、快捷 3、 3、 在ABC中,若,则cosC的值为 【答案】 1 8 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 得 , , 不 妨 设 则由余弦定理得 . 【 课 本 探 源 】 ( 必 修 5 第 26 页 第 10 题 ) 在 三 角 形 ABC 中 , 若 则角C等于 4、在锐角ABC中,3AB ,4AC
3、 若ABC的面积为3 3,则BC的长是 【答案】 、13 【解析】: 因为4,3bc,由,解得 3 sin 2 A ,因为是在锐角 ABC中,所以(或求出锐角 3 A ,再求 1 cos 2 A ) , 在 锐 角ABC中 , 由 余 弦 定 理 得 : ,所以13a ,即13BC . 5、在ABC中,已知3AB , o 120A,且ABC的面积为 15 3 4 ,则BC边长为 【答案】:7 6、在ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 bsinAsinBacos2B2c,则 的值为_ a c 【答案】:.【答案】:. 2 【解析】:由正弦定理得,sinBsinAsin
4、BsinAcos2B2sinC,即sinA(sin2Bcos2B)2sinC,即sinA 2sinC,再由正弦定理得, 2. a c sinA sinC 7、在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若, 22 3 ab c ,则c .【答案】:4 【思路分析】本题第一步应将的条件化成正余弦的等式;第二步由于本题求是 的三角形边长,所以将三角函数值等式转化为边长的等式;第三步:再结合 22 3 ab c 解方程组即可. 【 解 析 】 : 解 法 一 : 由可 得 :, 即 , 所以有,即 由 正 、 余 弦 定 理 可 得 :, 即 ,又 22 3 ab c 所以 2 4cc,即4c
5、. 解法二:也可在, 用 余 弦 定 理 可 得, 解 得 ,下同解法一. 8、 在ABC中, 角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.已知ac2b, sinBsinC, 则 cosA22 _. 【答案【答案】 2 4 【解析】:由 sinBsinC得bc.又因为ac2b,所以ac,因此 cosA2222 b2c2a2 2bc 2c2c22c2 2 2 c2 2 4 9、设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知,则cosA_ tanA tanB 3cb b 【答案】 、 1 3 10、 设 ABC的 内 角A,B,C的 对 边 分 别 是abc, , 且 满 足 ,则 ta
6、n tan A B 【答案】;. 4 解法1(正弦定理) 解法1(正弦定理) 根据正弦定理可得 , 即, 又因为 所以 又因为,所以 所以,则 . 4 tan tan B A 解 法 2( 射 影 定 理 ) 解 法 2( 射 影 定 理 ) 因 为及可 得, ,注意到,两式相除可得4 cos cos Ab Ba ,再由正弦定理可得 . 4 tan tan B A 解后反思:解后反思:解三角形问题中若等式既有三角函数又有边,则可以考虑利用正弦定理或余弦定理转化为只含 有边或只含有三角函数的等式处理.解法 2 则利用了三角形中的射影定理(教材必修 5p17 练习 5)结合条件 整体处理. 11、
7、在ABC中,BC=2,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的 两侧) 当C变化时,线段CD长的最大值为 【答案】3 思路分析 思路分析 要求CD的长,只需将CD表示为ACB的函数形式,然后应用三角函数知识来求它的最大值 则 可 , 因 此 在BCD中 应 用 余 弦 定 理 可 得 ,再在ABC中分别应用正弦定理、余弦 定理得 及 ,故 ,由此可得结果 【 解 析 】 : 在ABC中 , 由 正 弦 定 理得 , 由 余 弦 定 理 得 在BCD中,由余弦定理得 ,故 9,即 max 3CD 【问题探究,变式训练】【问题探究,变式训练】 例 1、. .
8、如图,在ABC中,D是BC上的一点已知B60,AD2,AC,DC,则AB_.102 【答案【答案】 2 6 3 【解析】 : 在ACD中,因为AD2,AC,DC,所以 cosADC,从而ADC102 2410 2 2 2 2 2 135,所以ADB45.在ADB中,所以AB AB sin45 2 sin60 2 2 2 3 2 2 6 3 【变式 1】 、【变式 1】 、如图,在ABC中,AB3,AC2,BC4,点D在边BC上,BAD45,则 tanCAD的值 为_ 【答案【答案】 8 15 7 【解析】 : 从构造角的角度观察分析,可以从差的角度(CADA45),也可以从和的角度(ACAD
9、45),所以只需从余弦定理入手求出A的正切值,问题就迎刃而解了 解法 1 在ABC中,AB3,AC2,BC4,由余弦定理可得 cosA ,所以 tanA, 322242 2 3 2 1 4 15 于是 tanCADtan(A45). tanAtan45 1tanAtan45 8 15 7 解 法 2 由 解 法 1 得 tanA .由 tan(45 CAD) 得 , 即1515 tan45tanCAD 1tan45tanCAD 15 ,解得 tanCAD. 1tanCAD 1tanCAD 15 8 15 7 【变式 2】 、【变式 2】 、如图,在ABC中,已知点D在边AB上,3ADDB, 4
10、 cos 5 A, ,13BC (1)求cosB的值; (2)求CD的长 A B C D (第 15 题) 【解析】:(1)在ABC中, 4 cos 5 A,(0,)A, 所以 同理可得, 所以 【变式 3】 、【变式 3】 、如图,在梯形ABCD中,已知ADBC,AD1,BD2,CAD,tanADC2.10 4 (1) 求CD的长; (2) 求BCD的面积 【解析】: (1)因为 tanADC2,且ADC(0,),所以 sinADC,cosADC. 2 5 5 5 5 所以 sinACDsin(ADC 4) sin(ADC 4) sinADCcoscosADCsin 4 4 ,(6 分) 1
11、0 10 在ADC中,由正弦定理得CD ADsinDAC sinACD 5 (2) 因为ADBC, 所以 cosBCDcosADC,sinBCDsinADC 5 5 2 5 5 在BDC中,由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosBCD, 得BC22BC350,解得BC7, (12 分) 所以SBCDBCCDsinBCD 77. 1 2 1 2 5 2 5 5 【变式 4】 、【变式 4】 、如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB13,AC10,AD5,CD,50.65AB AC (1) 求 cosBAC 的值; (2) 求 sinCAD 的值; (3) 求BAD 的面积 【解析】:
12、(1) 因为cosBAC,AB AC |A B |A C | 所以 cosBAC. AB AC |A B |A C | 50 13 10 5 13 (2) 在ADC中,AC10,AD5,CD.65 由余弦定理,得 cosCAD . AC2AD2CD2 2ACAD 10252 652 2 10 5 3 5 因为CAD(0,),所以sinCAD .1cos2CAD1(3 5) 2 4 5 (3) 由(1)知,cosBAC. 5 13 因为BAC(0,), 所以 sinBAC.1cos2BAC1( 5 13) 2 12 13 从而 sinBADsin(BACCAD) sinBACcosCADcosB
13、ACsinCAD . 12 13 3 5 5 13 4 5 56 65 所以SBADABADsinBAD 135 1 2 1 2 56 65 28. 【关联 1】 、【关联 1】 、ABC中,点D在边BC上,且2DCBD,AB:AD:AC3:k:1,则实数 k 的取值 范围为 【答案】:( , ) 5 3 7 3 【 解 析 】 : 解 法 一 : 因 为DC 2BD, 所 以 有2DCBD , 即 ,所以有 ,又ABADAC3k1,可设 , 所以,即 ,所以 5 7 , 3 3 k . 【关联 2】 、【关联 2】 、 在ABC中,已知AC3,A45,点D满足2,且AD,则BC的长为_ CD
14、 DB 13 【答案【答案】3 【解析】 : 由2可得点D为线段CB上靠近点B的一个三等分点, 作CEAB,DFAB, 在 Rt思路分析CD DB ACE中先求出AECE,再在 RtBCE中根据 求出DF,进而求出AF,EF,FB, 3 2 2 DF CE 1 3 2 2 5 2 2 2 2 2 然后根据勾股定理或余弦定理求BC的长度即可 如图,过点C作CEAB,DFAB,垂足分别为E,F.在 RtACE中,因为AC3,A45,所以AECE .因为2, 所以 , 从而DFCE.在RtADF中,AD, 所以AF 3 2 2 CD DB DF CE BD BC 1 3 1 3 2 2 13AD2D
15、F2 ,EFAFAE.因为2, 所以 , 从而BFEF,BEBFEF131 2 5 2 2 5 2 2 3 2 2 2CD DB BF EF BD CD 1 2 1 2 2 2 . 3 2 2 解法 1 在 RtBCE中,BC3.BE2CE2 ( 3 2 2) 2( 3 2 2) 2 解法2 所以AB3,所以在ABC中,由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosBAC,所以BC2 3 2 2 3 2 2 2 9182339,所以BC3.2 2 2 【关联 3】 、【关联 3】 、. 在ABC中,D为边AC上一点,ABAC6,AD4,若ABC的外心恰在线段BD上,则BC _. 【答案【答案】
16、3 6 【解析】 : 本题要求BC的长, 关键是要求出BAC, 找出线段的比例关系, 建立方程, 从而求出BC思路分析 的长 解法 2 如图 2,设BAC2,外接圆的半径为R,由SABOSADOSABD,得 6Rsin 4Rsin 1 2 1 2 64sin2, 化简得24cos5R.在RtAFO中,Rcos3, 联立解得R, cos, 所以sin 1 2 6 5 10 5 8 ,所以BC2BE2ABsin123. 3 8 3 8 6 图 1 图 2 图 3 解法 3 如图 3, 延长AO交BC于点E, 过点D作BC的垂线, 垂足为F, 则 , .又DF BO OD AB AD 3 2 OE
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- 冲刺 2019 高考 数学 二轮 复习 核心 考点 特色 突破 专题 07 余弦 定理 及其 应用 解析
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