冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题:09平面向量的线性表示(含解析).pdf
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1、专题 09 平面向量的线性表示专题 09 平面向量的线性表示 【自主热身,归纳总结】【自主热身,归纳总结】 1、设a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p= . 【答案】-1 【解析】因为=2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因为 A,B,D 三点共线,所以=,即 2a+pb=(2a-b)=2a-b,所以解得所以实数 p 的值是-1. 2、设 1 e与 2 e是两个不共线向量, 12 ee CBk,若A,B,D三点共线,则 k 【答案】: 4 9 k 【解析】,设ABBD 则)3(3k且,解得 4 9 k 3、在ABC中,若点D,E,F
2、依次是边AB上的四等分点,设 1 e CB, 2 e CA,用 1 e, 2 e表示 CF,则 CF 【解析】 在ABC中, 3 4 AFAB ,所以 4设点A,B,C是直线l上不同的三点,点O是直线l外一点,若, 则的值为 【答案】:1 【解析】 因为点A,B,C三点共线,所以 ACxAB,又因为 ,所以1 5、如图,在ABC中,D,E分别为边BC,AC的中点. F为边AB上的点,且3ABAF ,若 ,, x yR,则xy的值为 . 【答案】: 5 2 【解析】:因为D为BC的中点,所以,故 3 ,1 2 xy, 5 2 xy。 6、已知O为ABC的外心,若,则C= 【答案】: 3 4 误点
3、警示:若误点警示:若C为锐角,则为锐角,则AOB与与C分别是同弧所对的圆心角与圆周角,此时分别是同弧所对的圆心角与圆周角,此时 AOB=2=2C; 若; 若C为钝角, 由为钝角, 由AOB与与C的关系是的关系是, 因此, 必须对 , 因此, 必须对C进行分类讨论.本题从条件进行分类讨论.本题从条件判断知,判断知,C必为钝角必为钝角. . 7、已知点C,D,E是线段AB的四等分点,O为直线AB外的任意一点,若 ,则实数 m的值为 【答案】: 2 3 m 【解析】 因为m() OAOB,所以3 ODm2 OD 2 3 m 8如图,平面内有三个向量 OA, OB, OC,其中 OA与 OB的夹角为1
4、20, OA与 OC的夹角为30,且 A B C O ,若,则_,_ 【答案】:=2, 4 = 3 【解析】 设与OA ,OB 同方向的单位向量分别为a,b, 依题意有=42ab OC,又=2a OA, 3 = 2 b OB, 则,所以=2, 4 = 3 9、如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边,AB AD分别 交于,E F两点,且交其对角线于K,其中, 2 5 AEAB, 1 2 AFAD, AKAC,则的值为 【答案】: 2 9 【解析】 因为点F,K,E共线,故可设 又,所以,解得 2 9 【问题探究,变式训练】 例 1、在ABC中,AB2,AC3,角A的平分线与AB边上的中线交于
5、点O,若xy(x,yR R),AO AB AC 则xy的值为_. 课本探源 本题的难点是 关系的建立, 借助于正弦定理, 可以证明.实际上,必修 5P54 例 5 EO OC 1 3 AE AC EO OC 已经证明了此结论,若能够想到这一点,理顺本题的解题思路就容易多了 : 在ABC中,AD是BAC的平分 线,用正弦定理证明:. AB AC BD DC 【变式 1】 、【变式 1】 、 如图, 在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点, 若(,BE BA BD R R),则_. 【答案】3 4 【解析】: 因为O,E分别是AC,AO的中点,所以 ().又BE BA A
6、E BA 1 4AC BA 1 4 BC BA 3 4BA 1 4BC ()(),故 .BE BA BD BA BC CD BA BC 3 4 . 【变式 2】 、【变式 2】 、在ABC中,2BDDC ,若,则 12 的值 为 【答案】: 2 9 因为,而,所以,所以, 则 12 的值为 2 9 . 【关联 1】 、【关联 1】 、如图,在ABC中,BO为边AC上的中线,2BGGO ,设CD AG ,若 ()R,则的值为 【答案】 6 5 【解析】思路一:, , 因为CD AG , 所以1 1 5 , 6 5 思路二:不妨设=CD mAG ,则有 A C B O 【关联 2】 、【关联 2】
7、 、如图,在同一个平面内,向量 OA、OB , OC的模分别为 1,1,2,OA 与OC 的夹角为,且 tan7,OB 与OC 的夹角为45,若, 则mn 的值为_ 【答案】:+3m n 【解析】 由tan7可得 7 2 sin 10 , 2 cos 10 ,根据向量分解易得: ,即 ,解得 5 4 7 4 m n 所以+3m n 例 2、 在ABC中, C45,O是ABC的外心, 若mn(m,nR R), 则mn的取值范围是_OC OA OB 【答案】 ,1) 2 思路分析 本题中三点在圆O上是一个关键条件, 可以建立坐标系求出m,n的关系式, 再利用三角换元求解, 也可以对向量等式两边平方
8、后得到m,n的关系式,再利用线性规划求解 因为C,O是ABC外心,所以AOB90,mn,所以C在优弧上 4 OC OA OB AB 建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设半径为 1,则A(0,1),B(1,0) 设C(cos,sin), ( ( 2 ,2) 代入mn,可得ncos,msin,即mncossinsin. OC OA OB 2 ( 4) 又,所以mn,1) 4 ( 3 4 ,9 4) 2 解后反思 本题易错在没有注意点C在优弧上,错误的认为点C在整个圆上本题是典型的二元函数的值 AB 域问题,解题方法比较多,可以用基本不等式、线性规划、三角换元,但由于点C在圆弧上,最好的方法 建立坐
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